Dérivées et optimisation

[invite56f88dc9]

Bonjour .
Ma prof de maths m'a donné des exos pour s'entraîner pendant les vacances et je ne trouve pas la solution.
Voici l'énoncé du 1er exo(je vous joins un dessin) :
Pour des raisons obcures le gardien d'un phare(point A) doit rejoindre le plus rapidement possible la maison côtière(point B). Il se déplace en canot à la vitesse de 4km/h et à pied à la vitesse de 5km/h.
Où doit il accoster pour que le temps de parcours soit minimal ?

Voici ce que j'ai trouvé : t=(AM/V_mer) + (MB/V_terre .
Par Pythagore on trouve AM = racine (81+x²) et MB = 15-x
D'ou t_total = (racine(81+x²)/4)+ (15-x)/5.
La je suis un peu bloquée car je n'arrive pas à bien formalier la question (Où doit il accoster pour que le temps de parcours soit minimal ?). Dois je dériver cette fonction et prendre l'extremum comme réponse ou je dois mettre en équation ?.
Par curiosité j'ai regardé sur ma calcu et il me semble que je dois dériver la fonction (temps total).
C'est ça ?

Pour un autre exercice j'ai la représentation graphique d'une courbe du type f(x) = ax+b+(c/x+d).
J'arrive a trouver ax+b mais je ne vois pas comment trouver d.

Merci de bien vouloir me répondre.
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[invited162afc4]

Pour le premier exercice il me semble que tu as effectivement raison il faut que tu derives ta fonction et en trouve le minimum tu trouveras alors la valeur de x pour laquelle le temps de trajet est le plus court.

Pour ta deuxieme question tu as 4 inconnues (a,b,c etd) donc il te faut 4 points de ta courbe qui te donnerons 4 equations;

[invite9822beb9]

Pour ton deuxième exercice, aurais-tu le graphe ?
Concernant l'expression de f(x), ou les parenthèses sont inutiles, ou elles sont mal placées...

[invite56f88dc9]

Bonjour.
J'ai repris l'exo hier soir et je me rends compte qu'il était facile.
J'ai effectivement suivi ma piste sans regarder les réponses à ce post et je suis arrivé tout seul non sans peine à résoudre le problème.
J'ai trouvé que la fonction admet pour extremum local(voir extremun tout court) x=12 avec y=4.35h ou 4h21 min.
Donc le gardien doit accoster à 3 km de la maison et il y arrivera en 4h21 min.(temps de parcours minimal)
Ce qui m'inquiète un peu c'est que j'ai écrit une page et demie.
Peut-être que j'ai beaucoup trop détaillée.

Pouvez vous me confirmer ces résultats.

Pour le deuxième exercice je ne peux pas vous donner la courbe mais grâce aux indications vous devez y arriver.

La courbe C_f admet pour asymptotes les droites D et delta, et passe par le point A(0,1)

Par lecture graphique et en calculant le coeff directeur j'ai trouvé que l'equation de delta(asymptote oblique) est : -(5/2)x+2 (si je ne me suis pas trompé).
Et l'équation de l'asymptote verticale D: x=-1.
Donc en tapant sur la calculette on peut visionner ces deux courbes et voir facilement f(x).... Moi je ne vois pas comment calculer c et d.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite56f88dc9]

Je voudrais apporter une petite correction.
Le coefficient directeur est (-2/5) et non (-5/2)
Donc a=-2/5 b=2
y=(-2/5)x +2

[inviteb85b19ce]

Salut,

L'asymptote verticale en -1 indique qu'il y a une singularité en ce point.
Le seul moyen pour ça est que (x+d) s'annule en -1 donc...

Après il ne reste plus que c, que tu obtiens grâce au point A.

[invite56f88dc9]

Salut Odie.
La fonction est alors f(x)=-(2/5)x+2+ 1/x+1.
C'est ça ??

[inviteb85b19ce]

Presque
Celle que tu viens d'écrire ne passe pas par A(0,1)...

[invite56f88dc9]

Alors quel est la rapport entre le point A(0,1) et c ?

[inviteb85b19ce]

Bon, on sait que f(x) = (-2/5)x + 2 + c/(x+1) et que f(0) = 1
... que vaut c?

[invite56f88dc9]

Ah oui.
Alors c=-1

[invite56f88dc9]

Comment peut on montrer que le point OMEGA(-1; 2,3) (c'est une approximation) est un axe de symétrie ?.
Est ce qu'il suffit de faire un changement de repère et prendre un nouveau repère de centre oméga ?