operateur borné

invite59250f02 · 05/07/2011, 02h33

bonsoir à vous,
j'ai une petite question à vous poser,
soit $\text{[math]}$ un espace normé reél, muni de la norme $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ son dual , $\text{[math]}$ son crochet de dualité.

$\text{[math]}$ un operateur linéaire.
on dit que T est positif si , $\text{[math]}$
je voudrais montrer que tout positif est borné???
Merci de m'aider...

**Tiky** · 05/07/2011, 02h50

Bonjour,

Quelle est la norme sur ton dual ? Tu donnes une norme pour $\text{[math]}$ seulement et tu n'es sûrement pas en dimension finie non ?
Ta norme sur le dual ne serait pas $\text{[math]}$ ?

**Seirios** · 05/07/2011, 08h30

Bonjour,

En prenant la norme donnée par Tiky : Si T est positif, alors $\text{[math]}$ . Donc en dimension finie, la propriété peut se montrer assez facilement. Par contre, il me semble que la propriété est fausse en dimension infinie. Soit $\text{[math]}$ une famille libre dénombrable que l'on complète en une base $\text{[math]}$ de X. On définit alors T par $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ elle-même définie par $\text{[math]}$ . Dans ce cas, T est bien positif, mais $\text{[math]}$ , donc T n'est pas borné.

invite899aa2b3 · 05/07/2011, 11h44

Le résultat est vrai si $\text{[math]}$ est complet, c'est alors une conséquence du théorème du graphe fermé.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Tiky** · 05/07/2011, 14h06

J'ai oublié de préciser dans mon premier message que pour que la norme que je propose soit valable, il faut considérer que $\text{[math]}$ est le dual topologique.

invite59250f02 · 05/07/2011, 17h39

Envoyé par Tiky

Bonjour,

Quelle est la norme sur ton dual ? Tu donnes une norme pour $\text{[math]}$ seulement et tu n'es sûrement pas en dimension finie non ?
Ta norme sur le dual ne serait pas $\text{[math]}$ ?

Bonjour,
je vous ai cité ce que j'avais dans mon énoncé, moi aussi je me suis demandé de quelle norme, ils parlaient..

invite59250f02 · 05/07/2011, 17h43

Bonjour tout le monde,
Donc d'aprés ce que j'ai compris, le résultat n'est pas vrai, dans le cas général, on a le contre exemple de "Seirios (Phys2) "
mais si X est complet , on a notre résultat, mais comment est ce que je peux le démontrer???

invite59250f02 · 05/07/2011, 17h44

Envoyé par Tiky

J'ai oublié de préciser dans mon premier message que pour que la norme que je propose soit valable, il faut considérer que $\text{[math]}$ est le dual topologique.

mais s'ils ne précisent pas, comme dans mon énoncé, on prend le dual topologique?

invite59250f02 · 05/07/2011, 17h51

Envoyé par Gumus07

bonsoir à vous,
j'ai une petite question à vous poser,
soit $\text{[math]}$ un espace normé reél, muni de la norme $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ son dual , $\text{[math]}$ son crochet de dualité.

$\text{[math]}$ un operateur linéaire.
on dit que T est positif si , $\text{[math]}$
je voudrais montrer que tout positif est borné???
Merci de m'aider...

j'ai oublié de vous dire que $\text{[math]}$ est un espace de Banach, donc il est complet..mais comment je peux montrer cela..
Merci pour vos réponses..

invite899aa2b3 · 05/07/2011, 18h00

Si tu connais le théorème du graphe fermé, ça doit passer.

invite59250f02 · 05/07/2011, 18h05

je ne le connais pas, c'est la seule demonstration!!!, ou on peut faire ça autrement,
Merci encore...

invite899aa2b3 · 05/07/2011, 18h08

Quels sont les "gros résultats" que tu as à disposition ?

invite59250f02 · 05/07/2011, 18h15

ben, cette année, on a fait les operateurs compactes sur les espaces de Hilbert, c'est le seul module ou on a fait les operateurs.
sinon qu'est ce que vous avez à me proposer pour cette question...?

invite59250f02 · 05/07/2011, 18h37

je viens de lire le théoreme du graphe fermé, pouvez vous me dire c'est quoi cette conséquence qui fait que si l'operateur est positif alors il est borné...
Merci encore.

invite899aa2b3 · 05/07/2011, 18h53

On se donne $\text{[math]}$ une suite contenue dans le graphe de $\text{[math]}$ et on suppose qu'elle converge vers $\text{[math]}$ . On doit donc montrer que $\text{[math]}$ . Pour ça, calcule $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ fixé.

invite59250f02 · 05/07/2011, 19h24

Envoyé par girdav

On se donne $\text{[math]}$ une suite contenue dans le graphe de $\text{[math]}$ et on suppose qu'elle converge vers $\text{[math]}$ . On doit donc montrer que $\text{[math]}$ . Pour ça, calcule $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ fixé.

je crois que c'est : $\text{[math]}$ et ensuite comment je termine..
Merci.

invite899aa2b3 · 05/07/2011, 19h44

Cette quantité est positive car c'est une limite de trucs positifs. On en déduit que $\text{[math]}$ . Tu dois en déduire que $\text{[math]}$ .

invite59250f02 · 05/07/2011, 20h13

je n'arrive pas à voir, la seule information que je possede est que: <Tu,u> >0
d'autres indications s'il vous plait...
Merci..

invite899aa2b3 · 05/07/2011, 22h11

On a donc que $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ . On peut prendre $\text{[math]}$ de la forme $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ et on obtient que $\text{[math]}$ d'où ce que j'ai annoncé dans le message précédent. Maintenant, en remplaçant $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ puis en faisant tendre $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ on obtient que $\text{[math]}$ , ce qui montre que $\text{[math]}$ .

invite59250f02 · 05/07/2011, 22h22

je suis désolée de vous poser autant de questions,
pourquoi si on a <f-T(x),u> >0 alors forcement f-T(x)=0,
J'arrive pas à voir cela...
Merci beaucoup pour votre aide...

invite899aa2b3 · 05/07/2011, 22h26

C'est la linéarité qui est derrière tout ça : si on a une forme liénaire $\text{[math]}$ telle que pour tout vecteur $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ alors pour un $\text{[math]}$ fixé on a à la fois $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

invite59250f02 · 05/07/2011, 22h33

Ah oui c'est vrai, je n'ai pas pensé ainsi, merci beaucoup,
donc on vient de montrer que le graphe de T est fermé , donc par conséquent T est continu, donc T est borné...
Merci beaucoup pour votre aide,
Bonne soirée à vous...

operateur borné

operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Re : operateur borné

Discussions similaires

Opérateur borné

Operateur Borné et Spectre

Opérateur Borné

Opérateur borné - analyse fonctionnelle

operateur non-borne...