operateur borné

**Gumus07** · 05/07/2011, 01h33

bonsoir à vous,
j'ai une petite question à vous poser,
soit $\text{[math]}$ un espace normé reél, muni de la norme $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ son dual , $\text{[math]}$ son crochet de dualité.

$\text{[math]}$ un operateur linéaire.
on dit que T est positif si , $\text{[math]}$
je voudrais montrer que tout positif est borné???
Merci de m'aider...

**Tiky** · 05/07/2011, 01h50

Bonjour,

Quelle est la norme sur ton dual ? Tu donnes une norme pour $\text{[math]}$ seulement et tu n'es sûrement pas en dimension finie non ?
Ta norme sur le dual ne serait pas $\text{[math]}$ ?

**Seirios** · 05/07/2011, 07h30

Bonjour,

En prenant la norme donnée par Tiky : Si T est positif, alors $\text{[math]}$ . Donc en dimension finie, la propriété peut se montrer assez facilement. Par contre, il me semble que la propriété est fausse en dimension infinie. Soit $\text{[math]}$ une famille libre dénombrable que l'on complète en une base $\text{[math]}$ de X. On définit alors T par $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ elle-même définie par $\text{[math]}$ . Dans ce cas, T est bien positif, mais $\text{[math]}$ , donc T n'est pas borné.

invite899aa2b3 · 05/07/2011, 10h44

Le résultat est vrai si $\text{[math]}$ est complet, c'est alors une conséquence du théorème du graphe fermé.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Tiky** · 05/07/2011, 13h06

J'ai oublié de préciser dans mon premier message que pour que la norme que je propose soit valable, il faut considérer que $\text{[math]}$ est le dual topologique.

**Gumus07** · 05/07/2011, 16h39

Envoyé par Tiky

Bonjour,

Quelle est la norme sur ton dual ? Tu donnes une norme pour $\text{[math]}$ seulement et tu n'es sûrement pas en dimension finie non ?
Ta norme sur le dual ne serait pas $\text{[math]}$ ?

Bonjour,
je vous ai cité ce que j'avais dans mon énoncé, moi aussi je me suis demandé de quelle norme, ils parlaient..

**Gumus07** · 05/07/2011, 16h43

Bonjour tout le monde,
Donc d'aprés ce que j'ai compris, le résultat n'est pas vrai, dans le cas général, on a le contre exemple de "Seirios (Phys2) "
mais si X est complet , on a notre résultat, mais comment est ce que je peux le démontrer???

**Gumus07** · 05/07/2011, 16h44

Envoyé par Tiky

J'ai oublié de préciser dans mon premier message que pour que la norme que je propose soit valable, il faut considérer que $\text{[math]}$ est le dual topologique.

mais s'ils ne précisent pas, comme dans mon énoncé, on prend le dual topologique?

**Gumus07** · 05/07/2011, 16h51

Envoyé par Gumus07

bonsoir à vous,
j'ai une petite question à vous poser,
soit $\text{[math]}$ un espace normé reél, muni de la norme $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ son dual , $\text{[math]}$ son crochet de dualité.

$\text{[math]}$ un operateur linéaire.
on dit que T est positif si , $\text{[math]}$
je voudrais montrer que tout positif est borné???
Merci de m'aider...

j'ai oublié de vous dire que $\text{[math]}$ est un espace de Banach, donc il est complet..mais comment je peux montrer cela..
Merci pour vos réponses..

invite899aa2b3 · 05/07/2011, 17h00

Si tu connais le théorème du graphe fermé, ça doit passer.

**Gumus07** · 05/07/2011, 17h05

je ne le connais pas, c'est la seule demonstration!!!, ou on peut faire ça autrement,
Merci encore...

invite899aa2b3 · 05/07/2011, 17h08

Quels sont les "gros résultats" que tu as à disposition ?

**Gumus07** · 05/07/2011, 17h15

ben, cette année, on a fait les operateurs compactes sur les espaces de Hilbert, c'est le seul module ou on a fait les operateurs.
sinon qu'est ce que vous avez à me proposer pour cette question...?

**Gumus07** · 05/07/2011, 17h37

je viens de lire le théoreme du graphe fermé, pouvez vous me dire c'est quoi cette conséquence qui fait que si l'operateur est positif alors il est borné...
Merci encore.

invite899aa2b3 · 05/07/2011, 17h53

On se donne $\text{[math]}$ une suite contenue dans le graphe de $\text{[math]}$ et on suppose qu'elle converge vers $\text{[math]}$ . On doit donc montrer que $\text{[math]}$ . Pour ça, calcule $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ fixé.

**Gumus07** · 05/07/2011, 18h24

Envoyé par girdav

On se donne $\text{[math]}$ une suite contenue dans le graphe de $\text{[math]}$ et on suppose qu'elle converge vers $\text{[math]}$ . On doit donc montrer que $\text{[math]}$ . Pour ça, calcule $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ fixé.

je crois que c'est : $\text{[math]}$ et ensuite comment je termine..
Merci.

invite899aa2b3 · 05/07/2011, 18h44

Cette quantité est positive car c'est une limite de trucs positifs. On en déduit que $\text{[math]}$ . Tu dois en déduire que $\text{[math]}$ .

**Gumus07** · 05/07/2011, 19h13

je n'arrive pas à voir, la seule information que je possede est que: <Tu,u> >0
d'autres indications s'il vous plait...
Merci..

invite899aa2b3 · 05/07/2011, 21h11

On a donc que $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ . On peut prendre $\text{[math]}$ de la forme $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ et on obtient que $\text{[math]}$ d'où ce que j'ai annoncé dans le message précédent. Maintenant, en remplaçant $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ puis en faisant tendre $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ on obtient que $\text{[math]}$ , ce qui montre que $\text{[math]}$ .

**Gumus07** · 05/07/2011, 21h22

je suis désolée de vous poser autant de questions,
pourquoi si on a <f-T(x),u> >0 alors forcement f-T(x)=0,
J'arrive pas à voir cela...
Merci beaucoup pour votre aide...

invite899aa2b3 · 05/07/2011, 21h26

C'est la linéarité qui est derrière tout ça : si on a une forme liénaire $\text{[math]}$ telle que pour tout vecteur $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ alors pour un $\text{[math]}$ fixé on a à la fois $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

**Gumus07** · 05/07/2011, 21h33

Ah oui c'est vrai, je n'ai pas pensé ainsi, merci beaucoup,
donc on vient de montrer que le graphe de T est fermé , donc par conséquent T est continu, donc T est borné...
Merci beaucoup pour votre aide,
Bonne soirée à vous...

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