Exercice d'intégration

[Elie520]

Bonjour à tous. Voici un exercice, qui m'a un peu titillé, et dont ma réponse ne me satisfait pas...

Soit, pour tout entier non nul


où . Soit une fonction continue et bornée sur , on pose .

Question 1 : Calculer

Bon là, rien de très mystérieux, intégrale de Wallis, on trouve :
(information utile pour la suite, enfin dans ma démo...)

Question 2 : Montrer que, pour tout ,

Bon, ici où converge uniformément vers 0 donc l'intégrale cv aussi vers 0.

Question 3 : Montrer que converge uniformément vers sur tout segment..

Alors ici, j'ai réussi, pas facilement, mais c'est moche, je passe d'abord par des fonction qui ne s'annulent pas pcq c'est pratique pour un endroit de ma démo puis .... puis .... puis .... etc etc etc...
Bref, j'en ai pour presque 2 pages de cette question, ce qui me parait abusé.

Je m'en remets donc à vous pour savoir s'il n'y a pas une solution assez élégante, pas trop moche ni trop longue...

Merci par avance !!

Cordialement.
Elie520.
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[invite899aa2b3]

Bonjour,
car est d'intégrale puis utilise la convergence uniforme de sur le segment en question.

[invite0b91a80c]

Bon, ici où converge uniformément vers 0 donc l'intégrale cv aussi vers 0.

je ne comprend pas cette égalité, et la convergence uniforme c'est sur quel intervalle ? surement pas sur [-1,1] puiqu'il n'y a déjà pas convergence simple en zéro.
plutôt par parité, il suffit de regarder l'intégrale sur et il y a cv uniforme sur

[Elie520]

je ne comprend pas cette égalité, et la convergence uniforme c'est sur quel intervalle ? surement pas sur [-1,1] puiqu'il n'y a déjà pas convergence simple en zéro.
plutôt par parité, il suffit de regarder l'intégrale sur et il y a cv uniforme sur

Oups pardon, c'est

Bonjour,
car est d'intégrale puis utilise la convergence uniforme de sur le segment en question.

Je ne comprends pas comment tu aboutis désolé...
Enfin je suis parti pareil, mais après, jai du découper l'intégrale, utiliser le théoreme de Heine et l'uniforme continuité pour m'affranchir de la spécificité de et faire un découpage d'épsilon.
Je pense que tu as une solution plus simple en tête.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite899aa2b3]

Je ne comprends pas comment tu aboutis désolé...
Enfin je suis parti pareil, mais après, jai du découper l'intégrale, utiliser le théoreme de Heine et l'uniforme continuité pour m'affranchir de la spécificité de et faire un découpage d'épsilon.
Je pense que tu as une solution plus simple en tête.

En fait je crois que l'on a la même idée, mais je ne vois pas comment remplir deux pages avec ça. On fixe et un segment avec . On a que donc et on en déduit que .
Comme est uniformément continue sur , on peut trouver tel que si et alors . Maintenant, il faut découper l'intégrale : et .

[Elie520]

ouai ouai. Mais en fait, ce qui est relou, c'est que comme toi jai fait exactement ca, tu découpe. donc un bout tend vers zéro et lautre, de -delta a delta on remplace la différence de f(x-t)-f(x) mais après il faut encore prouver que ce qui reste tend vers 1, don il faut encore travailler (meme pas beaucoup) mais finalement, ca fait bien deux pages avec rigueur.
=)

[invite899aa2b3]

Même en étant rigoureux (ce qui ne veut pas dire détailler à outrance), ça doit tenir en vingt lignes maximum.
Pour le bout , on a donc et comme est positive

[Elie520]

Oui voila, c'est ca =)
T'as raison, j'ai fais une p'tite étape inutile, et j'écris gros =)

Merci pour ton aide en tout cas !