Vecteur et projection orthogpnale

invitec3143530 · 10/07/2011, 02h45

Bonjour étant donné un vecteur v de R3 dont on connaît deux projections orthogonales sur deux plans P1 et P2, comment retrouver ce vecteur ? Comment former le système d'équations ? Merci

**Tiky** · 10/07/2011, 04h44

Bonjour,

Voilà une méthode un peu longue mais je n'en vois pas d'autre pour l'instant.
Soit $\text{[math]}$ .
- $\text{[math]}$ la projection de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ une base orthonormée de $\text{[math]}$

- $\text{[math]}$ la projection de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ une base orthonormée de $\text{[math]}$

On sait que $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
De même $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

On suppose évidemment que $\text{[math]}$ . On peut considérer sans perte de généralité que $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ forme une base de $\text{[math]}$ . On pose $\text{[math]}$

On a donc :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Il reste plus qu'à résoudre le système

Ensuite il faut évidemment retourner dans la base canonique.

**Tiky** · 10/07/2011, 05h01

Au passage le déterminant de ce système est $\text{[math]}$ .
On peut se demander s'il y a toujours unicité du vecteur. Bref est-ce que
$\text{[math]}$ implique que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

**Tiky** · 10/07/2011, 05h24

Il est clair que si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ . Or $\text{[math]}$

Dans l'autre sens. Supposons que $\text{[math]}$ . On complète à l'aide du procédé de Gram-Schmidt, la base $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ en une base orthonormée $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ .
Donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ ce qui équivaut à $\text{[math]}$ . On fait de même avec $\text{[math]}$ .

Il y a bien unicité en fin de compte

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