Intégrales impropres

**Elie520** · 08/07/2011, 09h01

Bonjour à tous.
Ma question est assez simple : Peut-on se servir de DL pour justifier l'existence d'intégrales impropres (je pense que), et si c'est la cas, comment cela se rédige-t-il rigoureusement ?

Exemple 1 : Ai-je le droit de faire ceci :

Justifiez ou infirmez l'existence, pour $\text{[math]}$ , de $\text{[math]}$

Ai-je le droit de faire ceci : Supposons a>0. Il existe un voisinage de 0 (à droite) sur lequel le numérateur reste positif. Notons ce voisinage $\text{[math]}$ . on n'a évidemment pas de problème sur [0;1]\I.

Pour $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ . Donc L'intégrale ne converge pas.

Exemple 2:

Etudier la convergence de l'intégrale : $\text{[math]}$

J'ai rédigé : pour $\text{[math]}$ on a : $\text{[math]}$ .

Or, $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$

De plus, on sait que pour toute fonction $\text{[math]}$ intégrable bornée sur $\text{[math]}$ ; si $\text{[math]}$ alors l'intégrale $\text{[math]}$ converge.

D'où finalement : $\text{[math]}$

Conclusion : l'intégrale converge.

Je pense que ce raisonnement est juste, mais je ne sais pas si un correcteur dans le cadre d'un concours validerait, et mettrait tous les points.
Merci de me faire part de vos réflexion, afin d'améliorer cette rédaction, dans l'optique des concours vous l'aurez compris ! :s

Cordialement.
Elie520

inviteaebca43a · 08/07/2011, 22h40

Salut

J'ai lu l'exemple 1, cela me semble tout à fait juste mais tu peux te contenter d'affirmer l'équivalent (sans introduire de delta ni faire de DL) :
$\text{[math]}$
valable en 0+.
Ensuite deux fonctions équivalentes en un point ont même "intégrabilité" en ce point, ce qui permet de conclure.
Si ce n'est pas à ton programme tu peux faire une démonstration dans un cas particulier comme tu as (très bien) fait.

**Elie520** · 08/07/2011, 23h42

Envoyé par dam100

Ensuite deux fonctions équivalentes en un point ont même "intégrabilité" en ce point, ce qui permet de conclure

Meme si elles changent de signes ? pas besoin d'aucune hypothèse ?

**Tiky** · 09/07/2011, 00h29

Envoyé par Elie520

Meme si elles changent de signes ? pas besoin d'aucune hypothèse ?

Tu as montré que le signe était constant sur un voisinage de 0. C'est suffisant.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteaebca43a · 09/07/2011, 09h19

Envoyé par Tiky

Tu as montré que le signe était constant sur un voisinage de 0. C'est suffisant.

Oui, en fait les changements de signe n'interviennent pas dans les questions d'intégrabilité car on dit (mais c'est du vocabulaire) qu'une fonction f est intégrable sur I ssi $\text{[math]}$ est définie.
Si $\text{[math]}$ est définie mais pas $\text{[math]}$ (c'est-à-dire s'il y a un phénomène de compensation, les valeurs négatives "compensant" les valeurs positives) on parle de semi-convergence et plus de convergence.

**Elie520** · 09/07/2011, 18h36

Ah oui effectivement, j'avais oublié cette petite nuance dans la définition =) Merci bien à vous 2 =)

Et au fait, si vous voyez une solution différente pour l'exemple 2, je suis preneur !

Cordialement.

**Tiky** · 09/07/2011, 19h10

Pour l'exemple 2, il y a beaucoup plus simple. Il suffit de faire un ipp pour augmenter le degré au dénominateur.

inviteaebca43a · 09/07/2011, 21h58

Oui. C'est une intégrale semi-convergente (quand on parle du loup

), on justifie très souvent en se ramenant à une intégrale convergente par IPP.
De plus ton "a" ne sert à rien du tout, le problème est en +infini pas en 2 où la fonction est définie !

De manière générale ne t'embarque pas trop vite dans les calculs, justifier l'intégrabilité est en pratique très différent du calcul d'une intégrale, il s'agit de repérer les points problématiques et de chercher un équivalent simple ou un majorant simple qui serve de référence (très souvent du type $\text{[math]}$ ).

**Elie520** · 09/07/2011, 23h10

D'accord, merci à vous deux !

Et, juste comme ca, je sais que je n'ai pas besoin du a, mais c'est plus pour faire référence au CC que je fais ca, même si cela peut sembler etre superflu ^^
En tout cas merci !

inviteaebca43a · 09/07/2011, 23h12

Qu'est ce que le CC ?
A mon avis ça embrouille mais bon ...

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