application linéaire et evn

[invite0b91a80c]

Bonjour,

étant donné un espace normé, on considère une application bornée dans la boule unité et telle que pour tous
On veut montrer que f est linéaire continue. Pour montrer que f est linéaire, je n'utilise pas la condition bornée dans la boule unitée, cela m'étonne... Voila ce que j'ai fait :

1) On montre facilement que :

2) Etant donnée un , par densité je considère une suite de rationnels qui converge vers lambda. Je pose . Alors

et d'autre part :

Puisque x est fixé et que r_n est bornée, la quantité de droite tend vers zéro lorsque n tend vers l'infinie. Donc

Ce qui donne le résultat.

S'il y a une erreur et que quelqu'un la voit ? Merci d'avance
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[invite307c5052]

Bonjour,
déjà il y a une erreur à priori puisque l on construit des applications qui sont Q-linéaires mais non R-linéaires (avec l axiome du choix il est vrai!)
ta conclusion donne:// f(bw) // = /b/*//f(w)// pour b réel et w dans E.
mais cela ne suffira pas pour conclure que f(bw)=bf(w)
pour ta démo u=f je crois? mais comme on ne sais pas encore que f est linéaire; on ne connait pas le lien entre Yn/n et u(x)

[invite51d17075]

j'y ai cru moi aussi un moment.
ça marche dans Q mais pas dans R !

[invite307c5052]

si je peux me permettre de donner une indication mais j affaiblis très légèrement tes hypothèses: tu peux démontrer que ta conclusion subsiste en supposant seulement que f est bornée sur un voisinage d'un point fixé b de E!l voici alors l indication: tu peux montrer au préalable que f est alors continue en tout point de E.
Bonne continuation!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0b91a80c]

// f(bw) // = /b/*//f(w)// pour b réel et w dans E.
mais cela ne suffira pas pour conclure que f(bw)=bf(w)
pour ta démo u=f je crois?

pardon, oui u=f, j'ai changé de notations en cours, c'est pas malin !

sinon, cela donne bien le résultat sans la valeur absolue, ce que j'ai écrit n'est pas clair, on a plutot :

et le membre de droite tend vers zéro lorsque n tend vers l'infini, car r_n tend vers lambda et l'autre quantité tend vers zéro d'après ce qui précède.

[invite0b91a80c]

f est bornée sur un voisinage d'un point fixé b de E

par un homéomorphisme bien choisi (translation + homothétie), il me semble que c'est la même hypothèse que la mienne.

[invite0b91a80c]

et d'autre part :

et bien sur, c'était u(y_n /n ) à chaque fois.....

[invite0b91a80c]

et d'autre part :

c'est cela qui est trivialement faux... erreur de calcul stupide.

Bon, voila une solution correcte je crois. Par densité de Q dans R, je considère une suite r_n de rationnels qui converge vers lambda et telle que
et je prend bien

Alors on a en effet :



d'autre par



puisque , pour n assez grand il est clair que est dans la boule unité, et la quantité est bornée. Donc tend vers zéro. Et on montré que



Ainsi



qui tend vers zéro. Donc .

[invite307c5052]

bonsoir,
il y a un passage délicat dans ta démo: tu utilises implicitement le fait que f soit continue en 0 lorsque tu écris || f( £x) - rn f(x) || tend vers 0 lorsque rn tend vers £!
or le point clé à prouver est la continuité de f!
comme je vois que tu as déjà sérieusement réfléchi au problème, je vais me permettre de te donner une solution(que tu aurais trouvé de toute façon)
montrons que f est continue en 0
Soit A un majorant >0 de f sur la boule unité
soit e un réel>0
comme Q est dense dans R on peut trouver r € Q tel que 0< r <e/A
soit x € E ,supposons que l'on aie || x || < r
alors y= x/r est dans la boule unité donc || f(y) || < A
donc || f(x/r) || < A or r € Q!!!
donc || f(x) || / r < A d où || f(x) || < Ar < Ae/A < e
d'où la continuité de f en 0
pour conclure tu n'as pas besoin de diviser par n
voici comment on pourrait procéder:
rn tend vers £ quand n tend vers l'infini
donc rnx tend vers £x
donc rnx -£x tend vers 0
donc f ( rnx - £x ) tend vers 0 car f est continue en 0
donc rnf(x) - f(£x) tend vers 0
donc rnf(x) tend vers f(£x)
or rnf(x) tend £f(x)
donc f(£x)=£f(x) par unicité de la limite!
en passant tu vois qu'un contre exemple est très pathologique car non bornée sur tout voisinage de tout point!

[invite0b91a80c]

Ok je te remercie. La preuve que tu donnes est plus jolie.... Dans ce que j'ai fait les font un peu cuisine et astuce.

[invite51d17075]

bonsoir,
il y a un passage délicat dans ta démo: tu utilises implicitement le fait que f soit continue en 0 lorsque tu écris || f( £x) - rn f(x) || tend vers 0 lorsque rn tend vers £!
or le point clé à prouver est la continuité de f!!

oui, c'est le point qui coince.
j'ai moi même fait précedement la même erreur en m'appuyant sur la densité de Q dans R, mais celà ne suffit pas.