Banach isomorphme à un Hilbert

**titi07** · 08/07/2011, 17h33

Bonjour les matheux...

j'ai un théorème à démontrer , et j'aimerai bien une petite aide de votre part, alors voila:

"Un espace de Banach $\text{[math]}$ est isomorphe à un espace de Hilbert si et seulement si il existe un isomorphisme $\text{[math]}$ tel que:
$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ "

ou bien si la démonstration se trouve dans un article ou un document ,
il me serait très utile..

Merci beaucoup pour votre aide...

**invited749d0b6** · 09/07/2011, 17h14

Bonjour,

Pour le sens "il existe T isomorphisme ..." => "X isomorphe Hilbert"
Posons L(x,y)= <T(x),y>. Il faut vérifier que L est une forme bilinéaire associée à une forme quadratique positive.
a) Il faut vérifier que L(x,x)=0 implique x=0.
Or L(x,x)=0 implique, d'après la propriété de T,
m|x|^2=0, |x|=0 donc x=0.
b) L(x,x) >= 0
C'est évident.
c) Il faut démontrer: soit N(x) égal à racine de L(x,x), X muni de la norme x -> |x| est isomorphe à X muni de la norme N.
C'est-à-dire il existe A>0 et B>0 tels que, pour tout x, N(x) < A |x| et |x| < B N(x).
Je te laisse le faire ...
d) Il faut démontrer que X muni de la norme N, est complet.

**titi07** · 09/07/2011, 19h21

Bonjour,
Tout d'abord merci beaucoup pour votre réponse,
d'après ce que j'ai compris, on supposant qu'il existe un tel isomorphisme $\text{[math]}$ , je dois montrer que X est isomorphe à un Hilbert , pour cela:
vous avez posé $\text{[math]}$
ensuite on montre que $\text{[math]}$ est une norme , puis que $\text{[math]}$ est isomorphe à $\text{[math]}$ ,
Une autre question: pour montrer qu'ils sont isomorphes, il suffit seulement que leur norme soient équivalentes...?????

ensuite je dois montrer que $\text{[math]}$ est complet, mais pour qu'il soit un Hilbert, je dois aussi montrer que cette norme vérifie l'égalité du parallélogramme...?????
Merci d'avance pour vos réponses...

**invited749d0b6** · 09/07/2011, 20h33

Envoyé par titi07

ensuite on montre que $\text{[math]}$ est une norme , puis que $\text{[math]}$ est isomorphe à $\text{[math]}$ ,
Une autre question: pour montrer qu'ils sont isomorphes, il suffit seulement que leur norme soient équivalentes...?????

Oui, car on doit montrer qu'ils sont isomorphes en tant qu'espace de Banach.
En effet, deux espaces de Banach E et F sont isomorphes si il existe u:E ->F tels que u est continue (cad $\text{[math]}$ ), bijective, et d'inverse continue ( $\text{[math]}$ ) .
Donc ici, on prend u=Id et il suffit que les normes soient équivalentes.

Envoyé par titi07

ensuite je dois montrer que $\text{[math]}$ est complet, mais pour qu'il soit un Hilbert, je dois aussi montrer que cette norme vérifie l'égalité du parallélogramme...?????
Merci d'avance pour vos réponses...

Comme N est associée à une forme quadratique définie positive, elle vérifiera l'égalité du parallélogramme automatiquement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**invited749d0b6** · 09/07/2011, 20h41

Ah, oui, tu as raison, pour le deuxième point.
il faut prendre L(x,y)= 1/2<T(x),y>+1/2<T(y),x>.
C'est alors symétrique.
Mais heureusement, ça ne change rien à la forme quadratique

**invited749d0b6** · 09/07/2011, 20h48

Un espace de Hilbert est un espace vectoriel sur $\text{[math]}$ muni d'une forme bilinéaire symétrique L(x,y), telle que x-> L(x,x) est définie positive, et qui est complet pour la norme $\text{[math]}$ .
A moins qu'il ne s'agisse d'un espace de Hilbert sur $\text{[math]}$ ?

**titi07** · 09/07/2011, 21h10

Salut,

Merci pour ces informations, je comprends mieux maintenant,
et pour vous répondre je travaille sur $\text{[math]}$
donc à ce niveau, on vient de montrer que $\text{[math]}$ est isomorphe à $\text{[math]}$ qui est un Hilbert.Merci beaucoup pour votre aide..cela m'a beaucoup servie...

et pour le deuxieme sens, avez-vous quelques indications..

Merci encore et bonne soirée à vous...

**titi07** · 13/07/2011, 20h31

Bonjour,
une autre question s'il vous plait, si on a deux normes équivalentes sur E, et si (E,N1) est complet, est ce qu'on peut toujours dire que (E, N2) est aussi complet..???
Merci pour vos réponses

**Tiky** · 13/07/2011, 20h36

Bonjour,

Oui bien sûr. La démonstration est vraiment très simple. Montre qu'une suite est de Cauchy pour la première norme si et seulement si elle est de Cauchy pour la seconde.

**titi07** · 13/07/2011, 20h45

OKKK, merci beaucoup pour votre réponse, je peux vous poser une autre question..???

**Tiky** · 13/07/2011, 21h00

Envoyé par titi07

OKKK, merci beaucoup pour votre réponse, je peux vous poser une autre question..???

Évidemment, c'est la vocation du forum

**titi07** · 13/07/2011, 21h03

salut ,
j'ai un isomorphisme $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ est un espace de Banach,
dans une démonstration d'une proposition j'ai pas pu comprendre ce passage:
$\text{[math]}$
ensuite, comme T est un isomorphisme on a:
$\text{[math]}$

Merci pour votre aide
Bonne soirée à tous...

**titi07** · 15/07/2011, 19h59

Bonjour,

Des indications s'il vous plait..

Merci à l'avance..

**invited749d0b6** · 15/07/2011, 20h11

Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , l'inégalité de ton avant-dernier message est fausse car $\text{[math]}$ .
Pour la réciproque, il faut prendre $\text{[math]}$ , et ensuite tu peux finir.

**titi07** · 15/07/2011, 20h36

Bonjour,
Merci pour votre aide, mais j'ai pas bien saisi votre indication,
Merci encore ..

**titi07** · 15/07/2011, 21h38

Envoyé par titi07

salut ,
j'ai un isomorphisme $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ est un espace de Banach,
dans une démonstration d'une proposition j'ai pas pu comprendre ce passage:
$\text{[math]}$
ensuite, comme T est un isomorphisme on a:
$\text{[math]}$

Merci pour votre aide
Bonne soirée à tous...

je tiens juste à préciser que $\text{[math]}$
est le crochet de dualité,

Cordialement..

invite307c5052 · 15/07/2011, 21h51

Bonsoir,
tu poses B=T-1, B est alors linéaire continu
donc pour tout g de X* on a || B(g)|| < || B || * || g ||
en prenant x dans X et g=T(x) tu as B(g) = x d'où
||x|| < || T-1 || * || T(x) ||
tu élèves le tout au carré puis tu divises le tout par || T-1 ||² * || T ||
et tu déduis la 2ème inégalité que tu as écrite de la 1ère par transitivité !

**titi07** · 15/07/2011, 21h57

Bonsoir,

Merci beaucoup pour votre réponse, j'ai très bien compris..

Très bonne soirée à vous..

**invited749d0b6** · 15/07/2011, 21h58

Si X est isomorphe à un espace de Hilbert Y par l'intermédiaire de f, il faut prendre $\text{[math]}$ avec (x|y) le produit scalaire de l'espace de Hilbert Y.
Et alors, $\text{[math]}$ .
Or X est isomorphe à l'Hilbert Y par f, donc...

**titi07** · 16/07/2011, 02h07

Bonsoir,

oui je vois plus clair, mais il faut que je montre que T est un isomorphisme; mais est-ce-que le fait que f l'est, implique que T l'est aussi...???

Merci encore et Bonne nuit...

invite307c5052 · 16/07/2011, 04h48

G13 t'a servi la solution sur un plateau!!!
en effet tu remarques les points suivants:

notation: si E est un Banach on notera encore E* le dual (topologique!) de E ( espace des formes linéaires continues muni de la norme associée à celle de E)

si Y est un Banach isomorphe à son dual et si X est un Banach isomorphe à Y alors X sera lui aussi isomorphe à son dual!
en effet soit f réalisant un isomorphisme de X sur Y et soit L un isomorphisme de Y sur Y* alors d'après les propriétés de la transposée ~f de f (que tu pourras re-démontrer à titre d'entrainement!),on a:
si f réalise un isomorphisme de X sur Y
alors ~f réalise un isomorphisme de Y* sur X*
donc en posant:
T= (~f) o L o f tu obtiens l'isomorphisme cherché de X sur X*!
Dans le cas où Y est un Hilbert tu définis L de Y dans Y* en posant pour tout u € Y, L(u) est la forme linéaire donnée par:
pour v€Y:
L(u)(v)=<u,v> ce qui se note <L(u)|v>=<u,v>
tu as dû voir en cours que L est une isométrie!
Les propriétés de la transposition sont:
~(gof)= (~f) o (~g) et ~(idE)=id(E*)
d'où tu vas déduire que (~f)-1=~(f-1)
pour la définition de ~f on a:
pour b€Y* on pose (~f)(b)=bof € X*
Ainsi tu peux expliciter la définition de T:
pour (x,y) € X² <T(x),y> = < L(f(x) ),f(y)>
et dans le cas où Y est un Hilbert avec le choix de L ci-dessus l'égalité devient: < T(x),y>=<f(x),f(y)>
Finalement pour le fun! tu n'auras plus qu'à prouver la continuité de l'application"transposée"de Lc(X,Y) dans Lc(Y*,X*) où X et Y sont des espaces vectoriels normés
Bonne continuation!

**titi07** · 16/07/2011, 15h25

Bonjour,

Merci beaucoup pour votre explication, je n'ai pas bien compris la réponse de G13 vu que je manque de beaucoup d'informations sur les espaces de Banach, et les isomorphismes entre eux, auriez-vous un cours à me proposer, pour que je puisse développer mes connaissances sur ce sujet...

Merci encore pour votre aide..

Bonne journée..

invite307c5052 · 16/07/2011, 16h01

voici les 2 propositions sur lesquelles je me suis appuyées:
prop1:
s'il existe un isomorphisme de X sur Y et s'il existe un isomorphisme de Y sur Y* alors il existe un isomorphisme de X sur X*
prop2
si Y est un Hilbert il existe un isomorphisme canonique de Y sur Y*

en rassemblant les 2 props je déduis:
prop3:
s il existe un isomorphisme de X sur un Hilbert Y alors il existe un isomorphisme de X sur X*

**titi07** · 16/07/2011, 16h14

Ah oui c'est vrai, en travaillant avec ces propositions, on aboutit au résultat souhaité.
Donc il faut vraiment connaitre tout ça, pour bien répondre,
Merci encore..

invite307c5052 · 16/07/2011, 16h58

Effectivement, de plus en faisant y=x dans l'égalité :

<T(x),y> = <f(x),f(y)> et en utilisant la continuité de f et de f-1 tu en déduis l 'existence de m,M>0 tels que
pour tout x de X

m || x ||² < <T(x),x> < M || x ||²

**titi07** · 16/07/2011, 17h05

Effectivement , vous avez raison , on en déduit facilement l’inégalité voulu...

Merci encore...

Banach isomorphme à un Hilbert

Banach isomorphme à un Hilbert

Re : Banach isomorphme à un Hilbert

Re : Banach isomorphme à un Hilbert

Re : Banach isomorphme à un Hilbert

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Re : Banach isomorphe à un Hilbert

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Re : Banach isomorphme à un Hilbert

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Re : Banach isomorphe à un Hilbert

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Re : Banach isomorphe à un Hilbert

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