une égalité avec des sinus

[invite0b91a80c]

Bonjour,

pour , je cherche à montrer que



bon pour n=1, un rapide calcul montre que c'est ok... ensuite je ne suis pas trop inspiré. une récurrence sur n me parait être une idée un peu délirante, si quelqu'un a une idée ? merci d'avance
-----

[invite307c5052]

il y a peut-être plusieurs méthodes mais une qui me vient est:
[sin(2n+1)t] /2n+1 est un polynôme en sin t de degré 2n+1 dont les racines sont sin(kpi/2n+1) avec k€[-n,n] puis tu fais tendre t vers 0 après avoir divisé par sin t et après avoir factorisé ton polynome! tu trouves ainsi le coeff dominant!

[invite307c5052]

ca marche très bien donc tu as juste à justifier le degré et les racines du polynôme dont l'existence découle de la formule De Moivre!

[invite0b91a80c]

alors avec les formules de moivre et du binôme, sauf erreur de ma part, on trouve que



qui est bien un polynome de degré 2n+1 en sinus. Ensuite les racines, je ne vois pas trop.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite307c5052]

voici comment tu trouves les racines:sin est un homéomorphisme de [-pi/2,pi/2] sur [-1,1] donc on va résoudre l'équation sin(2n+1)t=0 sur [-pi/2,pi/2]. tu trouves t=kpi/2n+1 avec k€[-n,n] donc en écrivant sin(2n+1)t=Q(sint) tu trouves que Q a 2n+1 racines distinctes dans [-1,1] qui sont les sinkpi/2n+1 avec k€[-n,n]
comme tu as montré que Q est de degré au plus 2n+1 tu obtiens bien la factorisation annoncée.

[invite0b91a80c]

merci de ton aide, j'avais fini par voir comment cela marche, c'est comme les polynome de Chebychev.

Effectivement, après factorisation en utilisant l'imparité du sinus



et alors



donne ce qu'il faut. Car on a trouvé le alpha en écrivant que P(X)= X Q(x) et alors Q(0)=2n+1 avec l'expression non factorisée et Q(0) = alpha x produit des sinus (kpi/2n+1) avec l'expression factorisée.