Aire d'une courrone - Problème bête

[NicoEnac]

Bonjour à tous,

J’ai une question toute bête mais qui m’énerve depuis 2 heures et pour laquelle je n’arrive pas à trouver la faille :

Je cherche à calculer la surface d’une couronne (aire comprise entre 2 cercles concentriques de rayons différents). Pas de problème, il suffit d’utiliser la différence entre les surfaces de deux cercles : où D₁ > D₂ sont les diamètres des cercles.

Je me suis dit que pour D₁ – D₂ << D₁ (donc pour une épaisseur fine par rapport aux diamètres des cercles), on pourrait approximer la surface cherchée par celle d’un rectangle de longueur et de hauteur . Un peu comme si je formais un cylindre avec une feuille de papier et que je la dépliais ensuite.

Le problème, c’est que pour une épaisseur fine, j’obtiens un rapport 2 entre les deux calculs.

Je m’en remets à vous pour m’expliquer ce problème, qui doit être tout bête mais dont la solution m’échappe. Et à ceux qui me diront que mon approximation de rectangle n’est pas bonne, je dis que j’aimerais qu’ils m’expliquent pourquoi elle n’est pas bonne et pourquoi une feuille de papier que je peux passer de la forme cylindrique à celle d’une feuille plate sans changer la surface de sa tranche n’est pas un bon exemple pour mon problème.

Merci beaucoup !
-----

[Dlzlogic]

Bonjour,
Après 2 lectures, j'ai fini pas comprendre.
Pour explique pourquoi ça marche pas. Tracez 2 cercles concentriques. Vous obtenez la surface de la couronne, pas de problème.
Maintenant tracez un cercle que vous assimilez au cercle moyen. Le diamètre est la moyenne des diamètres, ou tel que les surfaces à droite et gauche (des 2 1/2 couronnes) sont égales?
Autre moyen de le "visualiser", au lieu de faire la calcul avec le diamètre, faites-le avec le rayon.
D = 2 . pi R
S = 1 . pi R²
Version plus mathématique
D' = 2 . pi
S' = 2 . pi R

[NicoEnac]

Maintenant tracez un cercle que vous assimilez au cercle moyen. Le diamètre est la moyenne des diamètres, ou tel que les surfaces à droite et gauche (des 2 1/2 couronnes) sont égales?

Le cercle de diamètre égal à la moyenne des deux diamètres ne partage pas la couronne en 2 demi-couronnes de même surface...

Votre explication me parait très très fumeuse... Pouvez-vous, pour me donner tord, l'expliquer plus précisément, avec des notations mathématiques svp ? Car je ne comprends rien à

Autre moyen de le "visualiser", au lieu de faire la calcul avec le diamètre, faites-le avec le rayon.
D = 2 . pi R
S = 1 . pi R²
Version plus mathématique
D' = 2 . pi
S' = 2 . pi R

[invite51d17075]

le bemol, c'est que la "hauteur" pour un épaisseur fine est bien R2-R1 ( si on multiplie par 2pi )et pas D2-D1, d'ou le facteur 2!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Oh, mais je ne cherche en aucune façon à vous donner tort, il se trouve simplement que votre raisonnement donne un résultat faux.
Autre explication, non mathématique.
Vous avez votre couronne. Vous lui donnez une épaisseur, vous obtenez un cylindre. Maintenant essayez de couper ce cylindre et de la mettre à plat.

Essai d'explication plus mathématique.
Pour que la superficie de couronne
S=pi .(d1² - d2²)/4 soit égale à celle calculée avec la moyenne des diamètres, il faudrait que
S2 = pi ((d1+d2)/2)²/4 soit égale à S
soit d1² - d2² = ((d1 + d2)/2) ²
= d1²/4 + d2²/4 + d1d2/2 , ce qui n'est pas vrai

[Dlzlogic]

Comme complément pour n'avoir fait travailler, soit le volume déterminé par 2 surfaces parallèles qui sont les sections d'une pyramide.
Le volume est donc une section de pyramide.
Connaissant les superficies S1 et S2 des 2 surfaces et H la distance qui les sépare, calculer le volume.

[Dlzlogic]

le bemol, c'est que la "hauteur" pour un épaisseur fine est bien R2-R1 ( si on multiplie par 2pi )et pas D2-D1, d'ou le facteur 2!

Si c'était simplement ça, NicoEnac mérite une punition
Moi, je pensais bêtement que c'était un problème de fond.
Je vais lui trouver un autre exercice obligatoire.