Différence espace/ensemble

[Micki2a]

Bonsoir à tous.

Je me demandais si la notion d'espace est la même que la notion d'ensemble.

Alors? Existe t-il une différence entre un espace et un ensemble?

Je vous remercie d'avance.

PS: D'un côté, je me dis qu'il n'y en a pas puisqu'on définit une application d'un ensemble à un autre. Exemple: de R dans R (R est un ensemble). Mais parfois, on a des applications de R X E dans E (où E est un espace vectoriel) comme pour la loi de composition externe qui définit un espace vectoriel. Bref, je ne sais pas si ce raisonnement est bon.
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[invite307c5052]

Bonsoir, pour simplifier( car je ne parlerai pas de la théorie des catégories qui nous emmènerait trop loin) la théorie des ensembles est le cadre qui permet de définir les structures qui à leur tour donneront la notion d 'espace:citons par exemple espace vectoriel,affine,métrique,topo logique,de Hilbert(indispensable pour bien comprendre la structure mathématique de la MQ),de Banach,de Sobolev( important pour l'étude des équations aux dérivées partielles )
homogène; etc...
Voyons cela sur un exemple:
soit (K,+,*) un corps (que l'on pourra supposer commutatif pour faciliter l 'étude)
soit E un ENSEMBLE.
Munir l 'ENSEMBLE E d'une structure d'ESPACE vectoriel ( à gauche pour les puristes) sur le corps K, c'est se donner deux applications:
la première notée " +" de l'ENSEMBLE produit cartésien ExE dans l'ENSEMBLE E
la deuxième notée"." de l'ENSEMBLE produit cartésien KxE dans l' ENSEMBLE E
ces deux applications vérifiant des propriétés bien définies.
Dans ce cas on dit alors que le triplet (E,+,.) est un espace vectoriel sur le corps K.
Les élements de l'ENSEMBLE E sont alors appelés vecteurs du K-ESPACE vectoriel (E,+,.)
Puis lorsqu'il n y a pas d'ambigüité possible on parlera simplement de l'ESPACE vectoriel E sur le corps K.

[Micki2a]

Merci pour la réponse.

[Eva Estrella]

Bonsoir à tous
Merci Serge 1729 pour ces explications

C'est est faisant des recherches au sujet du critère de Cauchy sur les séries numériques, que de liens en liens sur le web, je suis tombée sur le paradoxe de Russell et enfin sur la topologie que je m'interroge sur la différence entre un espace vectoriel et un ensemble.

Moi je pensais tout simplement à ceci: la différence entre un ensemble et un espace( vectoriel) est que, un ensemble est une collection d'éléments (si qui m'a fait penser plus au relations qui peuvent exister entre ces éléments ou ces groupes d'éléments, de par ce qu'on a appris à l'école sur une partie de la théorie des ensembles), alors qu'un espace vectoriel est un triplet constitué d'un ensemble E, d'une loi de composition interne '+' et d'une loi de composition externe '*' (comme on l'a fait au secondaire et d'après ce que j'ai eu à apprendre jusqu'à aujourd'hui)

Je voulais aussi ajouter ceci, avec ce qu'on j'ai pu lire, je remarque que dans les ensembles les axiomes sont une fondation de ceux-ci et c'est vrai q

[A voir en vidéo sur Futura]

[JPL]

Serge1729 n’est plus actif sur ce forum depuis 2012.

[Eva Estrella]

D'accord JPL

Merci de m'avoir fait part de cela

[gg0]

En complément :
En mathématiques, on sait ce qu'est un ensemble, ou plutôt c'est généralement une notion de base, mais pas un espace. On parle d'un espace vectoriel, d'un espace de Banach,... mais pas d'un espace. On parle de l'espace, pour l'espace affine (ou euclidien) de dimension 3. Mais le mot espace tout seul ne définit pas une catégorie d'objets mathématiques.
En fait, le mot est venu historiquement dans la généralisation des géométries au dix-neuvième siècle et dans la géométrisation de nombreuses notions au vingtième.

Cordialement.

[Eva Estrella]

Merci pour votre réponse