Espace métrique

[joq35]

Bonjour,

J’ai une question qui va paraître basique, mais je la pose quand même.
Je travaille actuellement sur les espaces métriques.
Soit E=[-1;1], un ensemble. Soit d la distance euclidienne classique.
(E,d) est donc un espace métrique.

Dans le cours, il est indiqué que E est à la fois un ouvert et un fermé.
Pour montrer que E est un ouvert, pour chaque x de l’intervalle, il doit exister une boule ouverte centrée en x et inclut dans E.
Mais ce n’est pas possible de trouver une telle boule aux points 1 et -1 ?

Quelque chose a du m’échapper …

Merci
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[GBZM]

Bonjour,
Le point important et indispensable à souligner, ces DANS QUOI est-il ouvert et fermé ?
Si tu oublies ça, normal que tu ne comprennes rien.
est ouvert et fermé dans lui même, dans . Qu'est-ce que la boule ouverte de centre et de rayon DANS ? Par définition, c'est l'ensemble des APPRTENANT À tels que . La boule ouverte DANS de centre et de rayon est . Vu ?
De manière générale, un espace métrique est toujours ouvert et fermé DANS LUI-MÊME.

[joq35]

C'est cette dernière ligne que je ne comprend pas.
Si je reprends E = [-1,1]. La boule ouverte de centre 1 et de rayon r>0 ne sera pas incluse dans E. Auquel cas, E n'est pas ouvert.

Il faut peut-être considérer E comme une partie de R, auquel cas E est bien ouvert dans R.
C'est un peu confus comme tu le vois ...
Merci pour ton aide.

[GBZM]

Oui, je vois bien que tu te mélanges complètement les pinceaux.

Une seule question : peux-tu me décrire l'ensemble des éléments de tels que ? (Autrement dit, la boule ouverte DANS de centre 1 et de rayon 1/3.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[GBZM]

"E est bien ouvert dans R."
C'est faux. E est fermé dans R et il n'est pas ouveert DANS R. Mais il est ouvert DANS E.

[joq35]

Ok c'est bon, je viens de comprendre ma grosse erreur.

B(1,1/3)= [2/3, 1] qui est bien inclus dans E.
En fait, je pensais que B (1, 1/3) = [2/3 , 4/3].

J'avais lu trop vite la définition et oublié notamment " APPRTENANT À E".

C'était vraiment une question basique, désolé à tous.

[GBZM]

Encore une petite erreur : la boule ouverte de centre 1 et de rayon 1/3 dans [-1,1] est ]2/3, 1] et pas [2/3, 1].

[joq35]

Effectivement, merci.

[GBZM]

Avec plaisir.