Simple Suite.

[Elie520]

Bonjour à toutes et à tous =)

Je vous sollicite pour la raison suivante :

Supposons que je veuile étudier le comportement asymptotique de la suite définie par et qui tend vers si et sinon...

Comment s'y prendre ? je ne sais pas trop... je sens bien une croissance exponentielle dans le second ca et un "rapprochement" exponentiel de 1 dans le premier cas mais je ne suis pas sur, et je ne sais pas comment m'y prendre. Alors souvent je tâtonne en étudiant ou des trucs comme ca et ca marche souvent... mais rien de vraiment méthodique.

Donc dans ce type de cas, auriez-vous un point de départ plus "algorithmique" ou vous faites comme moi ?
Je n'attends de vous que de très minces indications pour cet exemple svp =)

Merci bien !

Cordialement.
Elie520.
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[Tiky]

Bonjour,

Il existe bien une méthode assez générale pour l'étude asymptotique des suites définies par récurrence. L'idée est d'étudier la fonction numérique f telle que :
. Si f est continue voire dérivable, on dispose d'un certain nombre de résultats.

Ici tu as

On commence par déterminer les éventuels intervalles stables par f.

Si f est continue, les seules limites finies possibles de la suite sont les points fixes de f. On détermine donc les points fixes.

Les variations de sont données par le signe de . C'est là que les intervalles stables interviennent et permettent souvent de connaître les variations de la suite.

Enfin si f est dérivable, on peut déterminer si un point fixe est attractif ou répulsif. Un point fixe est attractif s'il existe un voisinage de ce point telle que la suite converge vers ce point.
Un point fixe est répulsif s'il n'est pas attractif. Autrement dit la suite converge vers ce point si et seulement si elle est stationnaire.

Tu peux démontrer que x est attractif si et est répulsif si . Le cas est indéterminé.

[Elie520]

Merci pour ta réponse, mais tout ca je le connaissais, j'ai d'ailleurs rapidement expliqué les limites dans ce cas la. Mais ici, je voulais plus avoir une méthode pour trouver des équivalents en ...

Cordialement.

[Tiky]

Ah ok. Je me disais aussi que c'était curieux que tu ne l'aies pas vu en mpsi. Je regarderai demain pour ta véritable question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Elie520]

Hey bonsoir...
J'ai trouvé au fait si ca vous intéresse. (Je pense.)
Dans le cas ou
on a donc Donc tend vers . Donc (vous pouvez vous en convaincre vous-même) :
tend vers aussi. Donc ie

Et après une petite recherche je crois trouver Finalement :