Théorème de Taylor

[invitefe5c9de5]

Bonjour à tous,

J'ai deux question sur le théorème de taylor, voici les hypothèses de ce que j'étudie:

Soit un entier n. Soit une fonction f de R dans un espace vectoriel normé de dimension finie, définie sur un intervalle ouvert I contenant un point a, dérivable n-1 fois sur I, et dont la dérivée n-ième en a existe.
De ca, on peut obtenir un polynome de Taylor en x appartenant à I, et ce meme si I n'est dérivable qu'au voisinage de a et pas sur tout I.
Ce qui me parait contradictoire, par intuition seulement mais quand même...

De plus, j'ai beau cherché, je ne trouve pas de démonstration sur le net qui montre que le reste du polynome de Taylor est forcément négligeable devant (x-a)^n .

Merci d'avance
-----

[invite029139fa]

La démonstration peut se faire par récurrence sur n me semble-t-il, rien de méchant, juste du calcul. dis-moi si tu as besoin de plus de détails, je répondrai des que possible.

[invitefe5c9de5]

En fin de compte, j'ai réussi par trouver une démonstration sur internet.
Elle n'a pas été facile à comprendre mais c'est bon.

Merci quand meme

[inviteab2b41c6]

De ca, on peut obtenir un polynome de Taylor en x appartenant à I, et ce meme si f n'est dérivable qu'au voisinage de a et pas sur tout I.
Ce qui me parait contradictoire, par intuition seulement mais quand même...

Non, pas du tout! Disons que f est la fonction que tu cherches à développer, alors tu as

f(x)= P(x) + reste(x)

Puisque f n'est pas dérivable sur tout I et puisque P l'est, il faut que ce soit le reste qui contienne l'information de non dérivabilité ailleurs que sur un voisinage de a...

La plupart du temps, l'idée est de dire que
f(x) = P(x) à une petite erreur près (disons epsilon), que l'on peut controler. Le comportement de f ailleurs que sur un voisinage de a peut alors être "chaotique" mais se fera toujours dans une petite "bande" de largeur plus ou moins epsilon autour de P.

Si on s'arrange pour avoir une erreur très petite, alors on peut approximer f par P, et ce même si f est très peu régulière, tandis que P est un polynôme, donc une fonction "parfaite" dans un sens.

De plus, j'ai beau cherché, je ne trouve pas de démonstration sur le net qui montre que le reste du polynome de Taylor est forcément négligeable devant (x-a)^n .

La difficulté dépend du reste que tu mets sur ton polynôme de Taylor. Si tu mets un reste de Lagrange par exemple, il me semble que c'est très facile de montrer que le reste en o(x^{n+1})

[A voir en vidéo sur Futura]