Diagonalisation d'une matrice

invitef85dcae6 · 19/08/2011, 12h21

Bonjour !

Comment diagonalise-t-on une matrice ?
J'ai fait des recherches sur google mais les explications que j'ai trouvés sont plutôt complexes.

Exemple :

$\text{[math]}$

Merci d'avance !

inviteab2b41c6 · 19/08/2011, 12h25

Bonjour,
c'est parce que c'est plutôt complexe, sinon tu aurais trouvé des méthodes faciles ...

Pourquoi veux tu faire ça si tu n'en as pas besoin?

invite6754323456711 · 19/08/2011, 12h31

Envoyé par charlie18

Merci d'avance !

Un cours pédagogique qui part de la base.

Patrick

invite317470b8 · 19/08/2011, 17h21

oui c'est assez compliqué mais une fois que tu aura bien compris la méthode ça sera facile, mon conseil va voir un peu les exo sur le site bibmath, cherche un peu dans le pdf des exo, c'est ce que j'avais fais pour comprendre, et dsl si j'ai pas pu t'aider assez

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invitef85dcae6 · 19/08/2011, 19h07

Envoyé par Quinto

Bonjour,
c'est parce que c'est plutôt complexe, sinon tu aurais trouvé des méthodes faciles ...

Pourquoi veux tu faire ça si tu n'en as pas besoin?

En fait je passe les concours CCP fin d'année prochaine (juin-juillet 2012) donc j'ai regardé un peu les sujets disponibles sur le net pour m'entraîner déjà, et ils demandaient de diagonaliser cette matrice. Voilà !

invitef85dcae6 · 19/08/2011, 19h14

Envoyé par katy19

oui c'est assez compliqué mais une fois que tu aura bien compris la méthode ça sera facile, mon conseil va voir un peu les exo sur le site bibmath, cherche un peu dans le pdf des exo, c'est ce que j'avais fais pour comprendre, et dsl si j'ai pas pu t'aider assez

Merci beaucoup ! Mais...
Je ne trouve pas la méthode de diagonalisation sur ton site

inviteab2b41c6 · 19/08/2011, 20h09

Ok, diagonaliser une matrice c'est trouver une base dans laquelle ta matrice est diagonale. L'exercice revient donc à trouver cette base.

Les éléments de la base sont en fait les vecteurs propres de ta matrice, c'est à dire les éléments X non nuls tels que
MX=aX
pour un certain scalaire a. Ce scalaire est appelé valeur propre et on dit que X est un vecteur propre associé à X.

Il y a toute une théorie sur savoir si une matrice est ou non diagonalisable, mais pour faire vite, la plupart du temps on s'intéresser au polynôme caractéristique de M qui est
det(M-tI)
La matrice M-tI est appelée la matrice caractéristique de M (d'où le nom de polynôme caractéristique). Suivant ce qui nous intéresse on étudie la matrice ou le polynôme caractéristique de M.
En gros, les zéros du polynôme caractéristique P_M de M sont les valeurs propres (et inversement). On chercher les valeurs propres pour calculer les sous espaces propres (sous espaces engendrés par les vecteurs propres) et dépendement de ces espaces, on peut conclure quant au caractère diagonalisable ou non de la matrice M.

Ceci est un bref résumé, mais c'est en réalité un peu plus complexe et la méthode n'est pas unique.

Evidemment, calculer le sous espace propre associé à la valeur propre a revient à calculer le noyau de M-aI.
Une matrice est diagonalisable si et seulement si (je crois, tu vérifierais) la dimension des sous espaces propres associés à chacunes des valeurs propres correspond à la multiplicité de la valeur propre comme zéro dans le polynôme caractéristique.
Ta matrice de passage est simplement la matrice des vecteurs propres rangés dans l'ordre que tu souhaites. La matrice diagonale qui en résulte est alors la matrice (diagonale) des valeurs propres rangées dans le même ordre.

invitef85dcae6 · 20/08/2011, 06h08

Oulala...

Je n'ai pas trop compris

mais je continue mes recherches.

À quel niveau voit-on ça à la fac en général ?

**Duke Alchemist** · 20/08/2011, 08h01

Bonjour.

Connais-tu les notions suivantes :
- matrice identité
- polynôme caractéristique
- valeur propre
- déterminant d'une matrice carrée
...
?

Te faut-il une démonstration rigoureuse ou seulement une "méthode sans la rigueur derrière" (oui je sais, c'est mal) avec les étapes à suivre... ?

Duke.

invitef85dcae6 · 20/08/2011, 08h08

J'ai vu en première année les déterminants de matrice (donc je connais les déterminant 3*3) et la matrice identité également (composée de 0, sauf sur la diagonale où est présent le chiffre 1). Mais polynôme caractéristique et valeur propre n'ont pas été vus.

Les deux si possible

car j'aimerais savoir comment résoudre mon problème, mais aussi d'où viennent les théorèmes ou formules utilisés.

Merci d'avance.

**Duke Alchemist** · 20/08/2011, 11h00

Re-
Je reprends :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Détermination du polynôme caractéristique $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Les valeurs propres sont les valeurs de x qui annulent le polynôme caractéristique dont l'ensemble est appelé spectre de A : on note Sp_A = {1;2}.

La matrice diagonale équivalente à A est la matrice $\text{[math]}$ .

Là, tu vas dire c'est facile... en effet, sans la rigueur et ce qui suit, ça l'est

Mais, bien entendu, pour que cela ait un sens il faut indiquer la base dans laquelle s'exprime $\text{[math]}$ .
Est-ce que les sous-espaces vectoriels te disent quelque chose ?

Duke.

EDIT : Je précise que je n'ai plus la rigueur nécessaire pour une réponse complète et détaillée

inviteab2b41c6 · 20/08/2011, 11h58

Envoyé par charlie18

Oulala...

Je n'ai pas trop compris

mais je continue mes recherches

Tu veux le beurre et l'argent du beurre. Si c'était si facile tu ne trouverais pas que des lectures difficiles sur le sujet. Je t'ai donné tous les outils nécessaires pour résoudre ton problème, où as tu de la difficulté?

À quel niveau voit-on ça à la fac en général ?

En première ou deuxième année en fonction des facs.

invitef85dcae6 · 20/08/2011, 14h50

A Duke : oui, j'ai vu les sous-espaces vectoriels en première année.

**Duke Alchemist** · 20/08/2011, 17h15

Re-

As-tu saisi la méthode de mon précédent message ?
Notamment retrouver le polynôme caractéristique qui doit être factorisé au maximum pour déterminer les valeurs propres.

Si oui continuons

Envoyé par charlie18

A Duke : oui, j'ai vu les sous-espaces vectoriels en première année.

A chacun des valeurs propres est associé un espace vectoriel.
On note E_x l'espace associé à la valeur propre x.

Reprenons notre exemple :
A E₂ est associée la matrice A-2I₃ suivante :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ssi $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
Après quelques simplifications (combinaisons linéaires) donne
$\text{[math]}$
qui correspond à la résolution du système
-x +y +z = 0
et
-y +2z = 0

D'où y = -2z et x=-z et $\text{[math]}$
Sauf erreur de ma part...

Il te faut suivre le même procédé pour E₁ sauf que E₁ sera de dimension 2.

Je te laisse ingérer cela.
Je reviens pour plus d'explications et de détails éventuellement.

Duke.

invitef85dcae6 · 22/08/2011, 15h03

Envoyé par Duke Alchemist

Re-
$\text{[math]}$

Il te faut suivre le même procédé pour E₁ sauf que E₁ sera de dimension 2.

Je te laisse ingérer cela.
Je reviens pour plus d'explications et de détails éventuellement.

Duke.

Bonjour,
J'ai compris la méthode mais je ne comprends pas pourquoi c'est $\text{[math]}$ et non $\text{[math]}$

De plus, en suivant votre méthode, j'ai trouvé l'équation de plan x-y-2z=0 pour E₁.

Que sont exactement ces sous-espaces vectoriels par rapport à la matrice de départ ?

Merci.

**Tiky** · 22/08/2011, 15h06

C'est plutôt $\text{[math]}$

invitef85dcae6 · 22/08/2011, 15h12

Envoyé par Tiky

C'est plutôt $\text{[math]}$

Merci, c'est bien ce que je pensais.

Diagonalisation d'une matrice