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[Maths sup][Exo] Ensemble de matrices particulières supplémentaires



  1. #1
    Scior

    [Maths sup][Exo] Ensemble de matrices particulières supplémentaires


    ------

    Bonjour à tous,
    Je ne me sors pas de la question suivante, au sujet de matrices et d'ensembles supplémentaires:

    "Montrer que l'ensemble An des matrices antisymétriques et l'ensemble Tn des matrices triangulaires supérieures sont supplémentaires dans Mn(K)."

    Montrer que l'intersection des ensembles An et Tn est la matrice nulle ne pose pas trop de problèmes, mais ensuite je bloque...
    Un ami a essayé de montrer cette supplémentarité par unicité de l'écriture de toute matrice de Mn(K), mais cela ne semble pas aboutir...

    D'avance merci si quelque piste vous venait à l'esprit

    -----

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  4. #2
    Médiat

    Re : [Maths sup][Exo] Ensemble de matrices particulières supplémentaires

    Citation Envoyé par Scior Voir le message
    Un ami a essayé de montrer cette supplémentarité par unicité de l'écriture de toute matrice de Mn(K), mais cela ne semble pas aboutir...
    Où est la difficulté ? Vous choisissez une matrices antisymétrique ayant son triangle inférieur égal au triangle inférieur de la matrice de départ, et vous corrigez le triangle supérieur avec ... une matrice triangulaire supérieure !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #3
    Scior

    Re : [Maths sup][Exo] Ensemble de matrices particulières supplémentaires

    Eh bien elle devait être là Merci beaucoup !

  6. #4
    369

    Re : [Maths sup][Exo] Ensemble de matrices particulières supplémentaires

    tu as montré la somme directe.

    Il ne reste plus qu'à montrer que M=S+A avec S une matrice symétrique et A une matrice antisymétrique
    pour cela tu peux faire une analyse-synthèse avec la transposée

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    silk78

    Re : [Maths sup][Exo] Ensemble de matrices particulières supplémentaires

    Bonjour,

    @369 : ici c'est la somme d'une matrice antisymétrique avec une matrice triangulaire sup (pas symétrique).

    Sinon, établir la décomposition exacte est pas trop dure et possède son intérêt propre mais un autre moyen, étant donné que tu as déjà prouver que l'intersection est nulle, serait de prouver que la somme des dimensions de An et Tn fait n², ce qui suffit pour avoir la somme directe.

    Silk

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