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Somme de (k parmi n)^2 à l'aide de P(X) = (X+1)^2n



  1. #1
    maxlebru

    Somme de (k parmi n)^2 à l'aide de P(X) = (X+1)^2n


    ------

    Bonjour je bloque sur un exercice permettant de trouver
    Pour cela je dois exprimer de 2 façon différentes le coefficient devant Xk dans le polynome P = (X+1)2n = (X+1)n(X+1)n
    J'ai utilisé la formule du binome de newton sur la première expression du polynome pour trouver comme coefficient devant Xk.
    En réutilisant la formule du binome deux fois sur la deuxieme expression, j'arrive à
    Je n'arrive pas à extraire le coefficient devant Xk avec cette expression.
    Merci de votre aide

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Tiky

    Re : Somme de (k parmi n)^2 à l'aide de P(X) = (X+1)^2n

    Bonjour,

    Regarde le coefficient devant . Tu trouveras ta réponse.

  4. #3
    Tiky

    Re : Somme de (k parmi n)^2 à l'aide de P(X) = (X+1)^2n

    D'ailleurs ton coefficient dans le seconde expression est faux. Utilise le produit de Cauchy pour trouver le coefficient.

  5. #4
    maxlebru

    Re : Somme de (k parmi n)^2 à l'aide de P(X) = (X+1)^2n

    Je me suis trompé je voulais dire que j'arrive dans la seconde expression après avoir fait le binome de newton à cette expression :
    Je n'arrive pas à en extraire le coefficient devant Xk et je ne connait pas le produit de Cauchy...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Tiky

    Re : Somme de (k parmi n)^2 à l'aide de P(X) = (X+1)^2n

    Regarde ici http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_de_Cauchy.
    Applique la formule et c'est dans la poche.

  8. #6
    maxlebru

    Re : Somme de (k parmi n)^2 à l'aide de P(X) = (X+1)^2n

    Merci pour l'aide.
    Mais existe-t-il un moyen d'y parvenir sans cette formule?

  9. Publicité
  10. #7
    Tiky

    Re : Somme de (k parmi n)^2 à l'aide de P(X) = (X+1)^2n

    Ici tu n'as que des sommes finies. Il n'y a aucune question de convergence et le produit de Cauchy n'est qu'un regroupement de terme astucieux. Essaye avec un petit entier n pour voir ce
    que dit précisément cette formule. Tu verras que c'est très naturel en fin de compte.

  11. #8
    maxlebru

    Re : Somme de (k parmi n)^2 à l'aide de P(X) = (X+1)^2n

    Je comprend que en développant on obtiendra la somme des carrés de chaque terme de la somme plus tous les doubles produits possibles.
    Mais cela ne me permet pas de trouver le coefficient devant Xk

  12. #9
    Tiky

    Re : Somme de (k parmi n)^2 à l'aide de P(X) = (X+1)^2n

    Bon tu as avec

    Donc en particulier, et comme .

    FInalement

  13. #10
    maxlebru

    Re : Somme de (k parmi n)^2 à l'aide de P(X) = (X+1)^2n

    Ahh merci beaucoup.
    Je n'avais en fait pas appliqué le produit de Cauchy au bon endroit.

  14. #11
    Tiky

    Re : Somme de (k parmi n)^2 à l'aide de P(X) = (X+1)^2n

    Citation Envoyé par maxlebru Voir le message
    Ahh merci beaucoup.
    Je n'avais en fait pas appliqué le produit de Cauchy au bon endroit.
    Je t'avais dit de regarder le coefficient devant

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