Calcul d'Euler

[invitef4a64633]

Bonjour,

Je viens discuter à propos d'une démonstration d'Euler qui me semble juste mais dont le résultat final est très surprenant (je vous laisse la surprise). Cependant je n'arrive pas à trouver l'origine de l'erreur. Les images suivantes sont extraites d'une présentation de John Baez disponible sur la page suivante:

http://math.ucr.edu/home/baez/numbers/

Vous pouvez lire un des ses récents articles dans le magazine Pour la science du mois d'Aout. C'est un article que j'ai trouvé très intéressant et portant sur des nombres nommés octonions et leur relation a la théorie des cordes. Place au fameux calcul:









Un avis sur la question?
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[invite986312212]

dès le début, on n'a pas le droit de prendre x= -1 dans la série 1+x+x^2+... car elle n'est pas sommable dans ce cas. Est ce bien Euler qui a fait ce calcul?

[Tiky]

dès le début, on n'a pas le droit de prendre x= -1 dans la série 1+x+x^2+... car elle n'est pas sommable dans ce cas. Est ce bien Euler qui a fait ce calcul?

Oui je confirme qu'il a bien fait ce calcul mais il faut comprendre que d'une part à l'époque la notion de convergence n'était pas définie de manière rigoureuse. Il faudra attendre Cauchy. D'autre part Euler n'avait pas la prétention que son calcul soit juste.
Il trouvait lui-même que le résultat était paradoxal.

[albanxiii]

Bonjour,

On peut interpréter le résultat comme un prolongement analytique.

Comme dit ambrosio, la série de terme général n'est convergente que pour . Sur le disque ouvert de centre 0 et de rayon 1 de C, on a .

Or, on voit que la fonction est définie sur . On peut donc définir ce qu'on appelle un prolongement analytique de norte série initiale, défini par .

Si on prend la valeur par exemple, on obtient avec l'expression de , ce que, si on n'était pas rigoureux, on écrirait . Ca n'est pas rigoureux car pour , et ne représentent pas le même objet mathématique.

[A voir en vidéo sur Futura]