Bonjour,

Savez-vous s'il existe une démonstration ou un théorème qui dise ceci...

Dans un tétraèdre quelconque, on peut inscrire un tétraèdre régulier par une construction analogue au théorème de Morley.

Il faut 4 points pour dessiner un tétraèdre.
L'intersection de 3 plans définit un point unique.
On cherche donc à créer 4 x 3 plans à partir d'un tétraèdre quelconque.
Ces plans vont jouer le même rôle que les trisectrices dans le théorème de Morley.

Il suffit pour cela de poser à plat le tétraèdre sur un plan euclidien, sur une de ses 4 faces au choix.
La face à plat sur le plan est donc la base du tétraèdre.

On aligne un des 3 cotés de la base avec un axe du plan.
On effectue alors, selon cet axe, une rotation de la face dont le coté est aligné avec cet axe,
d'un angle égal à un tiers de l'angle formé par cette face et la base.

On note que la projection du tétraèdre sur le plan perpendiculaire est un triangle quelconque.


(ici, le triangle jaune est issu de la rotation de la base - il servira à construire un second jeu de 12 plans)

Après la rotation de la première face, on aligne, à tour de rôle, les deux autres cotés de la base avec un axe du plan.
Et à chaque fois, on effectue une rotation de la face dont le coté est aligné avec cet axe,
d'un angle égal à un tiers de l'angle formé par la face et la base.





Ces trois premières faces sont nos trois premiers plans.
Leur intersection définit le premier sommet du tétraèdre régulier.



On répète ensuite complètement cette opération avec les 3 autres faces du tétraèdre,
en posant à chaque fois à plat sur le plan chacune de ses faces.

Nous avons maintenant 4 x 3 plans. Les intersections permettent alors de dessiner le tétraèdre régulier.

On notera, que si, à chaque fois, au lieu d'appliquer la rotation à la face alignée avec l'axe,
on applique la rotation à la base...
on définit alors un nouveau jeu de 12 plans qui dessinent un second tétraèdre régulier !

Finalement, l'intersection des plans ainsi définis dessinent le théorème de Morley sur chacune des 4 faces du tétraèdre.

Ce principe de construction est aussi un guide vers une démonstration simple.


D'avance merci pour vos remarques et commentaires.

Stéphane




Images réalisées à partir d'un tétraèdre quelconque







Images réalisées à partir d'un cube tronqué (3 angles droits, 6 angles à 45°, 3 angles à 60°)