bonjour voila je bloque un peu sur cet exercice d'oral de centrale 2009, j'ai l'integrale de 0 a l'infini de sin(x)sin(x^2) et je dois determiner si elle est convergente ou pas, pour cela je pensais apres avoir donné la continuité de la fonction, tenter de calculer cette integrale de 0 à x, mais je ne parviens pas à qqch par integration par parties, donc je me demande s'il faut utiliser un théorème spécifique finalement...
merci par avance de votre aide !
Bonjour,
L'intégration par partie permet de montrer la convergence mais n'espère pas trouver une primitive de la fonction. L'idée est la même que pour démontrer la convergence des intégrales de Fresnel (à vrai dire je pense qu'on peut exprimer cette intégrale à l'aide de ces dernières mais c'est une autre histoire). En faisant une intégration par partie, on cherche à augmenter le degré au dénominateur.
Soit, on a
Tu découpes la dernière intégrale et tu recommences une ipp sur
Edit : non en fait il va rester un terme en 1/t dans la seconde ipp :/. Il va falloir faire autrement.
Dernière modification par Tiky ; 18/09/2011 à 16h57.
ba justement je m'etais demandé s'il fallait retenter une ipp....
Bonjour,
On peut partir de
En fait ma méthode fonctionne, j'avais fait une erreur de calcul.
ok merci beaucoup
en fait j'aimerais bien quelques éclaircissements sur la 2e ipp car je n'obtiens pas quelque chose qui me permet de conclure, j'ai aussi du 1/t qui diverge (serie de rieman)...c'est vraiment bizarre, on est vraiment obligé de passer par une 2e ipp, parce qu'elle n'est tres facile ou c'est moi qui suis étourdi....
Je fais le calcul détaillé. Comme ça on sera fixé sur la justesse de la méthode.
Soit a > 0.
Puis
Et tout va bien puisqu'en simplifiant on obtient une intégrale absolument convergente.
Dernière modification par Tiky ; 18/09/2011 à 23h37.
ouais nan c marche bien, j'avais interverti un terme sans faire expres du coup je parvenais pas à simplifier, merci encore
Pour être vraiment rigoureux, il faudrait intégrer sur [1;a] au lieu de [0;a] pour éviter les problèmes de convergence à la borne inférieure.
ok mais j'ai une question, la convergence de l'integrale implique celle de la série, mais la réciproque est elle toujours vrai ? parce que, mon calcul marche mais j'ai un terme et deux integrales, donc faute d'arriver à une simplification totale je pensais raisonner sur la convergence par rapport a la serie de riemann...
Je ne vois pas où intervient une série.
C'est surtout juste car une intégrale du calcul diverge sinon. Merci.Envoyé par God's Breath
Zenlubrill, tu ne confonds pas avec le cas particulier où la fonction est monotone ?
c'est possible...mais alors je ne comprends pas bien comment on déduit le fait que notre integrale soit absolument convergente a partir des termes qu'il nous reste dans le calcul puisqu'ici on ne peut primitiver complétement comme tu l'as fait remarquer, il faut une majoration par quelque chose de connu ?
Je n'ai pas montré l'absolue convergence de l'intégrale mais sa convergence.
Soit a > 1.
Et bien
Tu en déduis l'absolue convergence des deux intégrales du terme de droite. Et donc la convergence simple de l'intégrale du terme de gauche.
Dernière modification par Tiky ; 19/09/2011 à 19h54.
ouais c'est bien ce que je pensais, c'est bien plus clair maintenant, merci encore pour ces explications !
