Element nilpotent

[inviteec33ac08]

Bonjour, voila je dois montrer que si A est un anneau et soit x, y nilpotent tel que xy=yx. Montrer que xy est nilpotent voila j'aimerai savoir s'il y a une méthode sans devoir passer par des récurrences ?
Et j'aurai une dernière question , comment peut on déterminer le plus petit entier n tel que x^n=0 ? Notre prof nous a dit en cours que ce n'était pas très grave si on montrait par exemple que ^(n+1) était nilpotent mais dans la pratique y-a t-il une méthode ou c'est au "feeling" ?
Merci
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[inviteea028771]

Pour la première, tout dépend du niveau de détail de la preuve que tu veux obtenir.

On peut le faire comme cela :

Soit

On a alors :

(*)
Comme ou (par définition de n), alors on a :


Maintenant soit tu démontres rigoureusement (*), et il faut faire une récurrence, soit tu considère que c'est connu, et dans ce cas tu ne fais pas de récurrence ^^

Après pour trouver le plus petit entier, je doute qu'il existe une méthode générale.

[inviteec33ac08]

Ok merci bien