Montrer que deux normes ne sont pas équivalentes

[invitee791e02a]

Bonjour,

Voila je dois montrer que les deux normes et ne sont pas équivalentes sur l'espace vectoriel des fonctions continues de [0,1] dans R par contre je ne trouve pas de suites j'ai pensé au sinus mais avec les valeurs absolues mais c'est pas top. Merci de m'aiguiller
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[invite4ef352d8]

Salut !

le problème va clairement ce produire au voisinage de 0 (si on intégrer de e>0 à 1 les deux normes serait équivalente), donc pour voir surgir une différence entre les deux norme il faut une suite de fonction dont la "masse" va se concentrer au voisinage de 0.

typiquement si on y avait droit, la fonction indicatrice de [0,1/n] donnerait de bon résultat.

maintenant il faut travailler avec les fonctions continu... alors je te recommande la fonction qui vaut n^2 en 0, 0 en x>1/n et qui est affine entre 0 et 1/n.

(le n^2 est juste là pour renormalisé afin d'obtenir un comportement interessant...)

[inviteea028771]

Tu peux regarder une famille de fonction du genre :



Pour ta première norme, ça s'approchera de l'intégrale de 1/x, et donc c'est aussi grand que tu le souhaite, tandis que pour ta seconde norme, ça s'approchera de l'intégrale de 1 (et donc clairement borné)

[invite97d79020]

Dans la même veine, j'aurais pris des trucs du type: . Ca a l'inconvénient de rendre l'intégrale difficile à calculer par rapport à vos fonctions (et bon je suis même pas sûr que ça marche ^^).

[A voir en vidéo sur Futura]