intégrale impropre en l'infini

invite8c7835ea · 14/10/2011, 18h02

Bonjour,
Je dois étudier l'intégrale de la fonction f sur $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Mais je ne vois pas comment faire : j'ai essayé de la majorer par $\text{[math]}$ qui converge en l'infini selon Riemann mais je n'arrive pas à le justifier ou peut-être je suis mal parti.
Pouvez vous m'aidez?

D'avance merci

invite3240c37d · 14/10/2011, 19h00

Soit un naturel $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
Je te laisse continuer ...

invite8c7835ea · 15/10/2011, 15h29

Merci pour la réponse

En faite j'ai fait autrement mais il y a quelques points qui ne sont pas très rigoureux:

Soit $\text{[math]}$ définie sur $\text{[math]}$
g est continue sur I.

Pour $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ par croissance comparée
$\text{[math]}$ par croissance comparée
$\text{[math]}$
Donc : la limite de g est 0 en -infini
Donc:
Puisque g est continue sur I et que la limite de g est 0 en -infini alors g est borné et donc majoré sur I

Pour $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ par croissance comparée
$\text{[math]}$ par croissance comparée mais là je suis pas sur de mon coup...

Donc : la limite de g est 0 en -infini
Donc:
Puisque g est continue sur I et que la limite de g est 0 en -infini alors g est borné et donc majoré sur I

Donc pour tous $\text{[math]}$ réel, on peut trouver un réel M>0 tel que :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Donc:
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Donc puisque 3>1, l'integrale de 1/t^3 converge donc l'intégrale de f converge par comparaison pour TOUS alpha réel(bizarre je trouve...).

Bon après c'est peu être pas assez rigoureux (ou faux

)
Je vais essayer de voir plus en détail ton idée MMu parce que que pour l'instant je vois pas trop quoi faire avec ton inégalité

invite8c7835ea · 15/10/2011, 22h01

Je pense avoir trouvé quelque chose:
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

or:
$\text{[math]}$
donc:
$\text{[math]}$

par Bertrand on sait que l'integrale de $\text{[math]}$ converge vers L par exemple

donc F(x) (primitive de $\text{[math]}$ )est croissance et majoré par disons F(2)+Lm^2 + 1
donc l’intégrale de f est convergente pour tous alpha si je ne me suis pas trompé.

Cependant il y a y truc que tu as utilisé(il me semble) et que je ne comprend pas bien pourquoi on a:
$\text{[math]}$ pour m un entier naturel

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteea028771 · 16/10/2011, 07h56

Tout simplement parce que l'on a :

$\text{[math]}$

Donc, comme tout les termes de la série sont positifs, on peut la majorer par un des termes ^^

Par contre tu as écrit que $\text{[math]}$ or c'est faux pour m>3. Tu peux parfaitement garder la factorielle ici.

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