Dérivées m-ième

[invite0bb5307a]

Bonjour,

Partie 1 :
1) on peut faire comme un sous espace vectoriel ?

Partie 2 :
3) d.
4) je n'arrive pas à trouver de relation pour le terme de la troisième ligne, première colonne qui convient pour le rang 1 et 2
sinon j'ai (-1)^(m)*(m+1)(m-2)
5)
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[invite899aa2b3]

Bonjour,
pour la partie 1 oui, si on sait déjà que l'ensemble des fonctions indéfiniment différentiables muni des lois usuelles est un espace vectoriel (sinon il faudrait vérifier les axiomes, mais ce n'est pas passionant).
Pour la question 4, on peut écrire que , puis d'aider de la formule du binôme.

[invite0bb5307a]

Je bloque aussi à la question 3)c. de la partie 1.
Je vais essayer pour A^m !

[invite0bb5307a]

Je trouve :

(-1)^m-1 * [ I - m*(A+I) + m! / (2*(m-2)!) * (A+I)² ]

Mais ça n'a pas l'air d'être ça

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0bb5307a]

Il me faut de l'aide pour :

Partie I, question 3)c.

Partie II, question 2), 3)d, 4), 5)a/b/c,

Partie III



La réponse de la question 5)d de la partie II c'est bien 5?

Merci.

[invite899aa2b3]

Les fonctions n fois dérivables sur dont la dérivée -ième est nulle sont les polynômes de degré au plus .
Pour la question II 2), la linéarité de découle simplement des liens entre la dérivation et les opérations élémentaires. Ce qu'il faut vérifier, c'est que la dérivée d'une fonction de est encore dans .
Pour la question II 4), continue : tu peux écrire comme une combinaison linéaire de , et .
Pour la question II 5), si une fonction est dans , alors sa valeur en est nulle, de même que la valeur de sa dérivée en .

[invite0bb5307a]

II 2) c'est à dire que je dois dériver 3 fois la dérivée de f et vérifier si elle vérifie la relation d'appartenance de E3?
II 4) mais la relation ne fonctionne pas pour m < 2 non ?

[invite0bb5307a]

Pour II 3)c est ce que le fait d'avoir trouver la matrice inverse de A nous permet de dire que l'application est bijective et qu'il existe une application permettant d'avoir une primitive?

[invite899aa2b3]

Pour II 2), pas la peine de dériver trois fois : tu prends un élément de , tu le dérives et tu le fais apparaitre comme une combinaison linéaire d'éléments de .
Sauf erreur de ma part, après développement on trouve , et ça marche aussi pour .

[invite0bb5307a]

Ah oui c'est bon pour A^m, je n'avais pas pensé à simplifier les factoriels.

Pour la dérivée je trouve f'(x) = [ -ax² + (2a-b) + b + c ] exp(-x)
Il suffit de dire f' = -a * U + (2a + b) * V + (b + c) * W
Donc f' appartient à E3
C'est ça ?

[invite0bb5307a]

Pour la question II 5)

J'arrive à :

a*α² + b*α + c = 0 et -a*α² + (2a - b)*α - c = 0

Et après, je dois faire quoi ??

[invite899aa2b3]

Il te manque le terme -b dans la seconde équation. Tu peux sommer les deux.

[invite0bb5307a]

Ca ne serait pas + b ?

[invite0bb5307a]

Je n'arrive pas à voir ce que je dois mettre en fonction de quoi..

[invite0bb5307a]

Je trouve b = -2α et c = aα²

[invite0bb5307a]

C'est bon pour la a.

Je ne vois pas comment déduire mais la base est f(1,-2α,α²) et la dimension est 1, non ?

[invite0bb5307a]

Pour trouver la dérivée m-ième de f, je suis OBLIGEE de mettre A^m en matrice ?

[invite0bb5307a]

J'ai un soucis pour A^m, l'expression est juste pour A, A² mais pas pour A^3..

[invite0bb5307a]

C'est bon finalement !

[invite0bb5307a]

J'ai toujours besoin d'aide pour les questions II 2), 5)b/c et III

[invite0bb5307a]

5)b je dois faire : inclus dans un espace, non vide et stable par combinaison linéaire ?
5)C est ce qu'un simple tableau de variation suffit ?