Equation "différentielle"

[invite705d0470]

Bonjour, je cherche la résolution d'une équation fonctionnelle/différentielle suivante:

qui est équivalent à

Je raisonne par Analyse-Synthèse:
En dérivant deux fois, j'obtiens l'équation différentielle suivante que f solution de (E) doit vérifier.
Les fonctions doivent donc être de la forme .

Seulement, si je m'arrête là certaines fonctions ne vérifient pas l'équation (E), notamment lorsque les deux constantes d'intégration sont nulles !

En revenant à (E), je parviens a une condition supplémentaire: mais que faire de ?
Puisque 1 n'est pas solution de (E), il me semble qu'il doive être non nul, pourtant sa valeur change selon les valeurs de x choisies, ce qui n'a pas de sens puisque c'est ... une constante !

Ou est mon erreur ?

Merci d'avance
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[invite427a7819]

Bonsoir !

Je suis d'accord avec votre analyse (je trouve le même résultat) mais il doit y avoir une erreur dans votre synthèse, puisque la fonction constante f : x |-> 1 est solution (1 -2sin(x)cos(x) + 2sin(x)cos(x) = 1).

Après, pour tester les autres, il faudrait trouver des primitives de (lambda + µt)exp(t)cos(t)... J'écrirais cos(t) = Re(exp(it)) (partie réelle de) et j'intègrerais (lambda + µt)exp(t(1+i)). Je ne sais pas si ça aboutit, par contre.

[invite705d0470]

Autant pour moi, je me suis en effet trompé lors de la vérification de cette solution constante !
Ne sachant pas intégrer ce type de fonctions, je me demandais si on pouvait "fixer" des conditions nécessaires et suffisantes sur à lambda et mu.
Ces deux dernieres étant des constantes, ne pourrait on pas les déterminer en prenant, par exemple, deux valeurs de x ?

Je m'explique:
On arrive à l'identification suivante:
Soit, en simplifiant légèrement,
.

En particulier, cette égalité doit être vérifiée si x=0. On a alors la condition .

On a donc des solutions de la forme .

La condition de validité devient alors:
N'ai ce pas ?

En théorie, il suffirait donc de trouver des conditions sur ce mu ?

[invite427a7819]

Le "2sin(t)" en dehors des intégrales est un peu surprenant (faute de frappe, et c'est un x, je suppose). Et le 2sin(x) en queue me semble louche... La somme des intégrales ne s'annule pas ?

Dans ce cas on a aucune condition sur µ (soit il est nul, et alors la fonction est solution, soit il ne l'est pas et on peut simplifier). On a alors une égalité qui est toujours vraie ou toujours fausse... Mais je crois que tu ne couperas pas à l'intégration des t*exp(t)*cos(t) pour vérifier si tous les µ non nuls sont solution ou s'il n'y en a aucun.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite705d0470]

Louche ? Non mais ^^ Je suis presque sûr de ce sinus :/
Et oui, il s'agit bien d'une erreur de frappe pour le sin(t) (en même tps, vu la longueur de la formule ...)

Mouais, il ne me reste plus qu'à apprendre à intégrer de telles fonctions alors !
Merci beaucoup Elwyr

[invite705d0470]

Pour Elwyr où quiconque lirait ce post (résolu), j'ai obtenue la solution au problème
En effet, il suffisait de raisonner par équivalence lors de la recherche d'une solution, en remarquant qu'à chaque dérivation l'information perdue concerne un point (i.e. en intégrant on obtient l'égalité des fonctions "à une constante près")
C'est à dire que

Autrement dit, la solution du problème vérifie trois conditions:
1-
2-
3-

Ce qui permet de déterminer l'ensemble des fonctions qui vérifient la propriété souhaitée, ensemble réduit à une fonction pour tout réel.

Voilà

Merci encore, et bonne soirée !

[invite427a7819]

Effectivement, j'ai du mal à distinguer les intégrales des primitives... Oublié un 1, provenant d'un cos0. Bref.

J'trouve la solution plutôt élégante, merci de l'avoir partagée =)