Lemme du Triangle de Pascal

[inviteb4eb391c]

Bonjour,

En examen un professeur nous a demandé de démontrer la Lemme du Triangle de Pascal. J'étais malheureusement absente aux derniers cours donc je n'ai pas la correction si elle a été donnée.

Pour commencer je ne suis pas sûre d'avoir compris la question, bon le Triangle de Pascal je vois le principe, la lemme j'ai regardé la définition sur la wikipédia mais je suis pas sûre de mon coup. Il faut démontrer quoi en fait ?

?
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[invitee27a8b07]

Je pense qu'il doit s'agir de cette égalité, puisqu'elle revient au principe de construction du triangle de Pascal.

Pour la démo, écris sous leur forme explicite les deux combinaisons du terme de droite et factorise habilement (en gros, par tout ce que tu peux )

[inviteb4eb391c]

Bonjour,

Merci de m'avoir répondu (je n'ai vu la réponse qu'aujourd'hui). Alors du coup j'obtiens ça (est-ce que c'est le plus simple ?) :

[inviteb4eb391c]

Parcontre je ne suis pas sûre de bien comprendre l'idée.

"donne le nombre de sous-ensembles différents à k éléments que l'on peut former à partir d'un ensemble contenant n éléments" (source : wiki)

donc en fait si je prends une liste de 5 questions au choix numérotées de 1 à 5 et deux candidats A et B, le nombre de combinaisons possibles s'exprimera k parmi n avec k=2 et n=5 et par le calcul on obtient :

donc il y a 10 combinaisons différentes. Ce qui veut dire que mes deux candidats A et B peuvent faire 10 combinaisons différentes de choix :

1,2 1,3 1,4 1,5
2,3 2,4 2,5
3,4 3,5
4,5

Maintenant j'ai démontré que ce qui signifie juste que j'additionne le nombre de combinaisons ?

dans le premier cas, un candidat a 4 possibilités donc
1,2,3,4
soit 4 combinaisons
dans le second cas, deux candidats ont 4 possibilités donc
1,2 1,3 1,4
2,3 2,4
3,4
soit 6 combinaisons

et en fait ça signifie juste que les ensembles (celui à gauche de l'égalité d'un côté et la somme des deux autres de l'autre côté) sont constitués du même nombre de sous-ensembles ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

et en fait ça signifie juste que les ensembles (celui à gauche de l'égalité d'un côté et la somme des deux autres de l'autre côté) sont constitués du même nombre de sous-ensembles ?

Oui, c'est ça.

Une autre façon de démontrer cette égalité sans faire de calcul est justement de se servir de cette interprétation :

Soit E un ensemble à n éléments, et x un élément (arbitraire mais fixé) de E. Alors il y a C(n,k) ensembles à k éléments de E
Parmi ces ensembles à k éléments, il y en a qui contiennent x et d'autres qui ne contiennent pas x.

Pour choisir un ensemble à k éléments qui contient x, il faut choisir x, puis choisir k-1 éléments parmi n-1 éléments : il y en a donc C(n-1,k-1)
Pour choisir un ensemble à k éléments qui ne contient pas x, il faut choisir k éléments parmi n-1 (tous sauf x) : il y en a donc C(n-1,k)

Comme ces deux groupes sont disjoints et contiennent toutes les façon de choisir k éléments parmi n, on a l'égalité : C(n,k) = C(n-1,k-1)+C(n-1,k)