Bonjour à tous,
Je dois trouve pour quel x réel on a :
En simplifiant le membre de gauche je trouve
Mais ensuite je bloque au membre de droite...
J'ai essaye de poser
pour simplifer avec le résultat précédemment trouver mais je n'y arrive pas.
Pouvez vous m'aider ?
Merci d'avance
Personne s'il vous plait ?
Bonjour Procato ^^
C'est vrai que cette égalité est assez effrayante au départ, mais quelques bonnes formules et du courage permettent d'en venir à bout !
je ne sais pas si des méthodes élégantes et "peu calculatoires" existent pour ce type de questions, alors voici la mienne.
D'abord, arrangeons la somme en l'écrivant
Ensuite, une formule interessante ici s'avère être la somme des exponentielles:
En prenant la partie réelle et imaginaire, on trouve les deux sommes (sinus et cosinus) qui nous intéressent.
On a alors, en posant
En factorisant, puis en écrivant
Voilà une bonne chose de faite ^^
Nous cherchons alors à résoudre l'égalité:
Heureusement pour nous, voici un résultat fort utile dans ce contexte :
On arrive alors à l'égalité
J'espère sincèrement avoir évité les erreurs de calculs, mais le résultat est cohérent.
Peut être existe-t'il des méthodes plus directes, en tout cas celle ci permet de revoir la plupart des formules de trigo du style
Amicalement,
Snowey
En fait je pense qu'avec un peu plus d'astuce le résultat doit se trouver plus vite, mais je suis un peu fatigué pour chercher plus loin.
j'espère que c'est quant même suffisant ^^
Tout d'abord merci infiniment d'avoir pris la peine de rédiger autant ta réponse.
Pour la première partie ou tu arranges la somme grâce a cos(a)cos(b)= ...
Moi je l'ai fais directement sans cette simplification mais je trouve un résultat différent ...
Ja vais regarder ca de plus près.
Sinon pour la récurrence je ne sais pas comment tu as trouvé cette formuleen tout cas bravo
D'ailleurs pour ta première formule de simplification pour la somme ma calculette n'est pas d'accord.... Ce qui n'est pas très bon signe.
L’égalité n'est pas vérifiée si tu prends x=5 et n=3
Oh ...
Vraiment désolé si j'ai écrit n'importe quoi ! (en plus je n'ai pas précisé que celà n'était pas valable pour
Bon, tu es sur que c'est faux ?
Non, je rigole, je te fais confiance.
Bon, ben je reprendrai peut être mon calcul demain.
Bonne chance pour cette égalité alors
Le produit de gauche peut se réécrire :
Alors c'est là que ça devient un peu délicat pour développer ce truc. Ceci dit, si on choisi de réfléchir en base 2, ça d’éclairci un peu.
En effet les termes serrons de la forme
On peut montrer qu'en fait on peut écrire tout les entiers impairs entre
On a alors :
Donc si je ne me trompe pas, ça devrait être vrai quelque soit x (par contre attention, tu pars à k=0 dans ton énoncé, et moi je pars de 1).
Si on part de 0 comme ton énoncé il faut que x vérifie
Merci beaucoup de ta réponse Tryss par contre je n'ai jamais vu le passage en base 2 en maths
Voilà une belle façon de voir ce produit (je n'y aurais sincèrement jamais pensé :/ )
Et je tiens à rectifier deux trois trucs dans mon raisonnement: il y manque une rigueur certaine.
D'abord, la première formule nécessite la condition
Ensuite, ma formule de récurrence n'est valable elle aussi que si
Malheureusement, cette condition est peu être unpeu trop forte pour que mon raisonnement aboutisse.
En effet, on arrive à résoudre
Les solutions
Bref, Tryss nous a montré qu'une bonne réflexion vaut souvent mieux qu'un long calcul !
Encore bravo
Merci encore à vous pour vos réponses.
Voila ce que je propose :
En simplifiant la somme par passage aux complexes j'ai
En reprenant ta récurrence snowey :
On peut donc remplacer le produit par
Ce qui est exactement égal à la somme que j'ai calculé. C'est donc égal pour tout x en excluant les valeurs particulières ou la somme et le produit ne sont pas définies...
Qu'en pensez vous
Je pense que l'idée n'est pas mauvaise, mais attention, je crois que ton expression de la somme n'est pas tout à fait exacte. D'ailleur, et j'en suis vraiment désolé, ma formule aussi est fausse: j'ai mis un coefficient 2 en trop devant le sinus (erreur d'inattention, désolé !).
La vraie formule de cette somme est alors
Prends par exemple des valeurs faciles à calculer:
Et puis, comme l'a dit Tryss, tous les x ne vérifient pas cette égalité si la somme part de k=0, comme c'est le cas justement. il faudrait donc trouver une équation dont les solutions sont les valeurs
Si tu m'as suivi, voilà comment conclure avec notre raisonnement.
Si tu es d'accord avec la formule que j'ai proposée la-haut, le problème revient à chercher les solutions de
J'arrive alors à obtenir deux conditions sur les réels solutions:
La première est que les x soient solutions de l'égalité, donc que
La seconde condition était la suivante:
Il n'esiste aucune compatibilité avec la solution
En regardant
Sachant que k est compris entre 0 et n, nous faut alors:
Les solutions sont donc bien de la forme ...
J'espère que cette fois-ci tu es d'accord
Amicalement, Snowey.
Encore un fois snowey merci beaucoup pour ta réponse rapide et développée
Et merci à tous j'ai compris
Pas évidente cette question !
Juste un dernier point, si la somme avait commencé à 1 ça aurait simplifié les choses ?
Si la somme avait commencé à 1, alors on aurai eu égalité pour tout x (cf mon message 8 qui contient l'idée de la démonstration)
J'avais un doute mais je pensais ca également merci beaucoup à vous 2 !!!!
De rien, la question était intéressante je trouve
Et puis Tryss a fait une jolie démo ^^
