Exercice d'intégrale

[inviteb412d874]

Bonjour à tous,
J'ai des exercices sur les intégrales sur lesquels je bloque. J'aimerais un peu d'aide svp!

Ex1
Soit f une fonction continue sur [a;b] tel que ∀ ∈ [a;b] ,

1) montrer que l'on à

2) en déduire la valeur de

pour le 1) j'ai exprimé les intégrales en fonction de a et b. Pour celle de gauche, avec une intégration par partie j'obtiens F(b)(b-1)+F(a)(a+1) ; F étant une primitive de f. Pour celle de gauche : ((a+b)/2)(F(b)-F(a)). Et quand je remplace f(x) par f(a+b-x) j'arrive encore à des résultats différents... Pour la 2) j'ai identifié a=0, b=pi, x=x, et f(x)=sin x / (1+cos^2 x). J'ai calculé l'intégrale (en m'aidant de l'égalité que je n'arrive pas à démontrer) par changement de variable en posant t=cos x et je trouve


Ex2
on considère l'intégrale In = , n ∈ N

1) etablir pour n>1 une relation entre In et In-1
2) calculer In

Je n'arrive pas à établir de lien entre In et In-1... Pour le 2), avec une intégration par partie, j'ai trouvé

Merci pour votre aide!
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Pour le premier exercice, au vu de l'hypothèse sur , plutôt que de pratiquer une intégration par parties, je suis tenté de calculer l'intégrale en utilisant le changement de variable : .
Pour la seconde question, je trouve le même résultat

Pour le deuxième exercice, il suffit d'intégrer par parties en dérivant et en intégrant . L'intégrale obtenue n'est pas directement , mais s'exprime facilement en fonction de et .

[inviteb412d874]

Ok, je pense que j'ai cherché la complication pour rien à l'exercice 1! merci pour ton coup de pouce!

Pour l'ex2, le résultat que j'ai donné est faux. J'ai intégré par partie comme tu l'as suggéré et, avec les fautes en moins, je trouve . Mais comment "abaisser" la puissance du (1-x) pour faire appaître ? car si j'intègre à nouveau, c'est le qui disparait...

Pour la question 2.2, du coup j'ai un doute : quelle est la différence entre exprimer en fonction de et calculer ? A part remplacer par son expression trouvée précédement? ...

[invite57a1e779]

je trouve

Ce résultat est visiblement faux : la partie toute intégrée est une constante, pas une fonction de qui est une variable muette dans tout le calcul.

Ensuite : ,
donc: et tu retrouves les intégrales et .

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb412d874]

Pas étonnant que je tourne en rond avec les boulette que j'écris... j'ai encore du taf pour retrouver le niveau. Encore merci God's Breath, je vais faire en sorte d'être plus attentionné à l'avenir!