Bonsoir à tous,
Voilà j'ai un problème avec un exercice, j'ai tenté en vain d'essayer une démonstration par récurrence qui n'a abouti à rien...
L'exercice en question est le suivant : Démontrer que pour tout n supérieur ou égal à 1,
nSigmak=1 de k/(k+1)!=1/2!+2/3!+3/4!+...+n/(n+1)!=1-1/(n+1)!
Merci pour vos éventuelles réponses.
Abou
Bonsoir, connaissez vous le principe de somme téléscopique ?
Si oui, essayez de transformer très simplement l'écriture de(en différence de fraction par exemple)
Bonsoir,
Il vous suffit d'écrire que
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ah, ben Médiat a donné la réponse ^^
Il vous suffit en effet d'écrire
Aaaah merci, j'ai un vague souvenir de cette fameuse "somme télescopique", un peu trop vague pour y avoir pensé.
En tout cas Snowey, Mediat, merci encore pour votre précieuse aide.
Bonne soirée à vous !
Pourtant la récurrence demande seulement d'établir :Envoyé par Abou75
ce qui est immédiat.
Oui, je suis arrivé jusque là, mais la démonstration n'est pas faite non?
En fait je ne suis même pas sûr d'avoir démontré quelque chose... J'ai essayé de retrouver les valeurs de départ pour prouver l'hérédité mais c'est ici que je bloque.
Pour les valeurs initiales, au premier membre :
et au second membre :
Pardon mais j'ai peur de mal comprendre, est-ce que vous (tu?) pourriez m'expliquer l'exercice en détail s'il vous plaît
Je me suis un peu emmêlé
Merci
Pour prouver par récurrence la relation :
on commence par la vérifier lorsque
Oui c'est bien l'initialisation? Mais c'est plutôt pour la suite que je patine...
Oui God's Breath, mais dans ce cas là n'est il pas plus fin d'écrire
On peut d'ailleurs utiliser la même méthode pour retrouver des résultats similaires, comme
Mais bien sûr, la récurrence est aussi une méthode, parfois meilleure quand les résultats ne se trouvent pas par une astuce aussi simple.
Mais je pense qu'ici, c'est suffisant.
Oui Snowey, mais alors ici on utilise quel type de démonstration en utilisant la somme télescopique? En gros comment généralise t-on l'égalité citée ci dessus?
Mon propos n'est pas de fournir une solution plus ou moins fine de l'exercice mais de réagir au message initial :
parce que la récurrence, bien menée, permet de conclure.
Voir une autre méthode de résolution est instructif, mais il est tout aussi instructif de comprendre pourquoi une méthode, qui aurait dû fonctionner, n'a pas abouti.
Alors avec la récurrence et sans utiliser la somme télescopique j'ai trouvé ceci :
P=1/2!+2/3!+3/4!+...+(n+1)/(n+2)!=1-1/(n+2)!
P=1/2!+2/3!+3/4!+...+(n+2)/(n+2)!=1
P=1/2!+2/3!+3/4!+...+1/(n+1)!=1
P=1/2!+2/3!+3/4!+...+n/(n+1)!=1-1/(n+1)!
Est-ce que je suis sur la bonne voie?
Pas du tout, ce que tu écris n'a aucun sens.
On définit, pour tout entier naturel
Tu dois prouver, pour tout entier naturel
Peux-tu donner le schéma de principe d'une démonstration par récurrence de cette égalité ?
Je ne demande pas la démonstration, mais seulement le plan de la démonstration.
Oui God's Breath, tu as tout à fait raison, autant pour moi. Il est nécessaire de répondre à la question et secondaire, bien qu'utile, de résoudre plus ou moins efficacement le problème
Abou, si tu parles de la rédaction, je pense que la phrase "par sommation télescopique" accompagnée de la justification de calcul suffit.
En effet, si on considère la suite
Alors, le schéma de la démonstration, tu veux dire de la récurrence ?
Initialisation, hérédité, conclusion?
Je suis un peu perdu, est-ce que vous pourriez détailler un peu plus s'il vous plaît...
Oui.
Dans cette exercice :
que doit-on prouver pour l'initialisation ?
que doit-on prouver pour l'hérédité ?
Initialisation : Montrer que la propriété est vraie au rang n=1
Hérédité : En supposant que cette propriété est vraie au rang n, montrer qu'elle est vraie au rang n+1, justement c'est ici que je bloque car je n'arrive pas à m'arranger pour retrouver la propriété de départ... si j'ai bien compris bien sûr
Merci de ton aide
Combien vaut
Il suffit d'utiliser la relation :
Ah d'accord, mais on a donc le droit de faire ça, parce que moi je croyais que cela donnait plutôt :
S(n)=1/2!+2/3!+3/4!+(n+1)/(n+2)!
Je vois toujours pas...
Non, les bonnes écritures sont :
donc :
Oui, oui, c'est ce que je voulais dire pardon, mais après je vois pas trop ce que je peux faire.
Que veux dire "supposer que la propriété est vraie au rang n" ?
Que veux dire "montrer qu'elle est vraie au rang n+1" ?
Au rang n+1 retrouver la propriété du rang n? Enfin je crois...
J'aimerais que tu l'écrives dans le cadre de l'exercice, c'est-à-dire en utilisant
Toujours bloqué Sn+(n+1)/(n+2)!, comment faire pour arriver à 1-1/(n+1)!
