Résolution de ((z+1)/(z-1))^n+((z-1)/(z+1))^n=-1

[inviteac9e3153]

Bonjour, pour un dm, je dois résoudre l'équation suivante :

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Donc je suppose z appartenant à C \ (-1;1)
On pose donc Z=
On obtient donc une équation du second degrés
Il y a donc deux solutions j= et j^2=
Mais après je n'arrive pas à trouver l'ensemble des solutions étant donné que l'on a supposé Z= et puis j'ai un peu de mal a rédiger
Merci de votre aide
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[Bruno]

Je ne vois pas ce qui te bloque, tu as trouvé et et comme tu as posé



Il suffit de résoudre et

[inviteac9e3153]

Oui justement on doit résoudre = et mais c'est justement ça qui me bloque, c'est peut-être facile à résoudre mais je bute dessus, je n'arrive pas en fait à obtenir des racines n-ièmes de ces deux équations avec un certains k décrivant un ensemble ...

[Bruno]

Essaye de transformer le membre de gauche de façon à utiliser (e^x)^n = e^(nx).

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteac9e3153]

moi je trouve quand je résous Z=e^i(2pi/3) -> Il existe k appartenant à (o,n-1), Z=e^i(2pi/3n)e^i(2kpi/n) mais comme Z=(z+1)/(z-1) bah je vois pas comment trouver les solutions des deux équations ... Enfin sous la forme zk=e^i ... , k appartenant à (0,n-1) (ici un petit z et non un grand)

Je ne comprends pas trop quel serait l'intéret de passer sous la forme (e^x)^n ...

[invite705d0470]

Bonjour Alexgrand
Tu as posé , ce qui t'a donné à résoudre dont les solutions sont et .
Si tu poses le complexe auxiliaire , tu peux alors continuer avec la même méthode:

Tu as donc tous les .
tu as alors, en développant, . A faire avec l'autre racine (j'ai fait pour j uniquement), et vérifie la compatibilité et les contraintes que je n'ai pas vérifiées (les dénominateurs ne doivent pas s'annuler quand on divise, ... etc).
J'espère ne pas avoir fait d'énormes erreurs de calcul. Une idée de résolution est peut être là.

Snowey

[inviteac9e3153]

Merci de bcp de ta réponse Snowey !