application bijective !

[invite4a9059ea]

Bonsoir ;


Soit f l’application de vers \{0} définie par . Démontrer que cette application
f est bijective ...

Comment procéder s'il vous plait ?

Cdt
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[invitec3143530]

Il doit y avoir un problème car elle n'est pas surjective, et donc non bijective.

En effet 2^a(2b+1) est toujours un nombre pair. donc les entiers impaires n'ont pas d'antécédent.

[invite4492c379]

Hello,

quand a=0, f(a,b) est impair.

[invite4a9059ea]

prend a=0 et t'obtiens tous les nombres impairs je pense ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3143530]

Ah oui j'ai pas vu ^^'
Si n est pair, on peut toujours donner un algorithme pour trouver a et b :

On divise successivement par 2 jusqu'à ce que le quotient soit impair et dans ce cas a = nombre de divisions effectués et b = (dernier quotient - 1)/2.

[invite4a9059ea]

il faut montrer qu'elle est injective et puis la surjectivité , mais je ne vois pas pour l'injectivité ?

[invitec3143530]

Tu peux toujours dire que l'algorithme détermine a et b de manière unique, mais il y a peut-être une façon plus direct avec des calculs.

[invitec3143530]

J'ai trouvé, tu peux faire comme ça

Montrons que si 2^a(2b+1) = 2^c(2d+1) alors a=c et b=d.

Par l'absurde, supposons que a=/=c, et que par exemple c>a, on a donc c= a+r.

On divise les deux côtés par 2^a on a alors : 2b+1 = 2^r(2d+1) ce qui est absurde car un entier impair est égal à un entier pair (r non nul).

Comme a = c il suffit maintenant de diviser par 2^a = 2^c pour voir que b=d.

[invite4a9059ea]

pour montrer que l'application est injective , j'y suis arriver en utilisant le théorème de Gauss ....

Maintenant reste à démontrer que l'application est surjective et là je ne vois comment faire

Cdt

[invitec3143530]

J'avais écrit qu'on pouvait déterminer a et b pour tout n, donc elle est bien surjective.

Soit n appartenant à N, alors :

a=sup{k appartenant à N, n^(-2k) entier}
et b = (n/2^a - 1)/2

[inviteea028771]

Ou alors, simplement en écrivant la décomposition du nombre en facteurs premiers :

n = 2^a*3^c*5^d*... = 2^a*q, où q est un produit de nombres impairs et donc impair (ainsi q=2b+1).

A noter que comme cette décomposition en facteur premier est unique, on peut obtenir aussi l'injectivité de la fonction (avec un peu de travail quand même)

[invite4a9059ea]

dire que tout entier naturel non nul se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers donc qu'on ne peut obtenir 2 décompositions identiques ne suffit pas pour montrer l'injectivité ?