Montrer que f est bijective de R dans R

[invite2ec0a62b]

Bonjour,
l'énoncé d'un exo est le suivant
soit f une fonction continue définie de R dans R telle que
)montrer que f est strictement monotone
)montrer que f est bijective de R dans R
f est bijective, certes, mais de R dans f(R), reste donc à démontrer que f(R)=R
Pour cela, j'ai pensé à montrer que
donc forcément f(R)=R, est ce que ce raisonnement est juste ?
-----

[invite2ec0a62b]

3) soit . Montrer que I est vide ou un intervalle fermé
je ne vois vraiment pas par où attaquer la question ... pouvez vous me donner un indice ...

[invite2ec0a62b]

personne ?

[invitec3143530]

Voilà une idée pour montrer que f(R) = R, c'est à dire qu'elle prend toutes les valeurs de R. Supposons f croissante (le cas décroissante est symétrique).
Soit a = f(0).
Le T.V.I permet de montrer qu'elle prend toutes les valeurs > a. en effet, soit b > a, alors sur l'intervalle [0,b-a] on a |f(0)-f(b-a)| > |b-a|, donc f(b-a)> f(0)+b-a = b donc elle a bien pris la valeur b d'après le T.V.I car elle est continue et croissante
De même elle prend toutes les valeurs < a, en choisissant cette fois des intervalles à gauche de 0. Si c < a, alors on considère l'intervalle [c-a,0] et on a bien |f(c-a)-f(0)|>|c-a| donc f(c-a) <f(0)-c-a=c donc elle a bien pris la valeur b d'après le T.V.I car elle continue et croissante.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3143530]

Petite erreur, je voulais dire f(c-a) <f(0)-(a-c)=c

[invite3d4a2616]

Pour I, en posant g(x) = f(x) - x, tu sais qu'elle est continue car f l'est et I = g^-1({0}) ...

[invite2ec0a62b]

en fait, c la question que je ne comprend, et par suite, je ne vois pas la démo,
pour moi, I est un singleton car f est bijective de R sur R, la courbe de f va donc forcément passer par la première bissectrice et ce, une et une seule fois ..

[invite2ec0a62b]

enfin, sauf si f est l'identité de R, mais dans ce cas la, I ne sera ni vide ni fermé

[invite3d4a2616]

Ta fonction peut être bijective de R dans R sans forcément couper la 1re bissectrice.

Exemple : f(x)=x+1 est continue, strictement croissante, bijective et vérifie ta relation de départ. Or f(x)=x n'a pas de solution.

Donc I peut être vide.

[invitea07f6506]

Je suppose que tu as montré que était strictement monotone et bijective, déjà ?

Pour la troisième question : étant bijective, pour tout réel les ensembles sont bien des singletons. Remarque que est l'intersection du graphe de avec la droite horizontale d'ordonnée . ici, on s'intéresse à l'ensemble , c'est-à-dire à l'intersection du graphe de avec la première bissectrice : ce n'est pas la même chose ! Par exemple, considère la fonction identité sur : elle est bijective, et est tout entier...

Pour résoudre la question 3, tu vas avoir besoin des hypothèses sur : ce n'est pas n'importe quelle bijection. Déjà, remarque que si est décroissante, alors l'ensemble est un singleton. Si est croissante et que est non vide, tu peux commencer par montrer les assertions suivantes :
* Pour tout réel , si alors pour tout supérieur ou égal à ;
* Pour tout réel , si alors pour tout inférieur ou égal à .

Un dernière remarque au passage : l'ensemble vide est un fermé de . L'ensemble tout entier est aussi un fermé de .

[invite2ec0a62b]

R et l'ensemble vide sont des fermés de R, est ce par convention ou par définition ?