[Exo] Suites et séries

[invite3014c89c]

Bonjour à tous,

J'ai quelques soucis avec deux exercices je ne sais absolument pas quoi faire, pourriez vous me venir en aide s'il vous plaît?
Les exercices en question sont :

Ex1
Soit f : R dans R l'application définie par f(x) = |x|.

1. f est-elle injective ? surjective ? Justier les réponses.
Je dirais pas injective car par exemple |2|, possède comme antécédents 2 et -2, et surjective car tout élément de l'application de R dans R définie par f(x)=|x| possède au moins un élément.

2. Donner f([1; 3[); f([-3; 5]); f-1([-5;-3]); f-1([2;+infini[).
Ici je ne sais pas quoi faire.

Ex2

On rappelle que pour tout (x,y) € R², sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x.
Montrer que pour tout n € N* et pour tous réels x1, x2, ..., xn de [0; pi], on a

sin( [j=1 sigma n] xj ) inférieure ou égale à [j=1 sigma n]sin(xj)

J'espère que vous comprendrez ce que j'ai écris...

Merci d'avance.
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[invited5b2473a]

1 ) 1) ok pour injective, non pour surjective (-1 à combien d'antécédents?)
1) 2) utilise les sens de variation de f

2) par récurrence et utilise le fait que cos et sin sont inférieurs à 1.

[invite3014c89c]

Ah oui pour surjective effectivement j'y ai pas pensé - 1 a bien sûr aucun antécédent donc f n'est ni injective ni surjective. Merci
Pour le reste je vais faire comme tu m'as dit je te tiens au courant. Merci encore.

[invite3014c89c]

Alors je pense que pour f([1;3[) f est strictement croissante sur [1;3[.
Pour f([-3;5]), f est décroissante sur [-3;0[ et croissante sur ]0;5].
Après pour f-1 je ne sais pas comment le représenter aurais tu une idée?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

Détermine .

[invite3014c89c]

Rebonjour et merci pour tes réponses, je voulais savoir s'il était possible de trouver f^-1 puisque la fonction |x| n'est pas bijective?

[inviteea028771]

On peut toujours obtenir l'image réciproque d'un ensemble, même quand la fonction n'est pas bijective.

Par exemple si la fonction g(x) = x², alors g^-1([1,4[) = ]-2,-1]U[1,2[.

f^-1(A) est l'ensemble des x tel que f(x) appartienne à A

[invite3014c89c]

Et quelle est la méthode pour obtenir l'image réciproque d'un ensemble?