bonjour,
j'aurai une question à propos de cet exo:
A=
1 0 0 0
-1 3 -1 1
-1 1 1 0
0 0 0 2
le polynôme caractéristique est: (1-X)(2-X)²
on veut jordaniser la matrice A, on note J la réduite de jordan
J=
1 0 0 0
0 2 1 0
0 0 2 1
0 0 0 2
comment trouve-t-on les 1 de la troisième et quatrième colonne?
merci de votre aide
Bonsoir,
Je suppose que c'est un cube plutôt qu'un carré dans le polynôme caractéristique. Dans ce cas, le polynôme caractéristique est scindé donc on peut écrire. On sait que le bloc
If your method does not solve the problem, change the problem.
merci de ton aide
mais je ne vois toujours pas comment tu trouves les 1 avec J2?
si je jordanise comment savoir quels vecteurs je met en premiers?
J1 et J2 sont les blocs de Jordan de J. Il y a un bloc pour chaque vecteur propre indépendant. Dans chaque bloc, on place la valeur propre sur la diagonale, et des 1 dans les cases immédiatement au dessus de la diagonale. C'est comme ca par définition. Pourquoi c'est des 1, c'est parce que la forme de Jordan est la forme d'une matrice la plus simple après la forme diagonale. Elle est utile quand une matrice n'est pas diagonalisable. On pourrait mettre autre chose que des 1, mais pourquoi faire compliqué.
Dans la matrice de passage P de J = P^1 A P, on met les vecteurs propres dans les colonnes de P dans l'ordre des blocs de Jordan. Dans ton exemple, P1 contient le vecteur propre de la valeur propre 1, P2 celui de 2, et pour P3,P4 il faut résoudre:
A P3 = P2 + 2P3 soit (A-2I)P3 = P2
puis A P4 = P3 + 2P4 soit (A-2I)P4= P3
Remarque que l'ordre des blocs dans J est interchangeable. Dans l'exemple on pourrait avoir J=
[J2 0 ]
[ 0 J1 ]
Dans ce cas il faudrait changer l'ordre des colonnes de P de la même façon.
merci j'ai fini par comprendre
