Bonjour, voila on définit le centralisateur d'un groupe qu'on note C(A) tel que C(A)={x € G / pour tout a € A, ax=xa}
J'ai réussit à montrer que C(A) est un sous-groupe de G, puis A inclus dans B => C(B) inclus dans C(A) ou B est une partie de G par contre je n'arrive pas à montrer que A est inclus dans C(C(A)) et ensuite la notation <A> est utilisé or je ne me rappelle plus de sa signification si quelqu'un pourrait m'aider
Encore merci de votre aide
Salut,
<A> est le sous-groupe engendré par la partie A, soit encore le plus petit sous-groupe contenant A, soit encore l'intersection de tous les sous-groupes contenant A.
Par exemple si A=a, alors
Sinon pour l'autre question commence par décrire C(C(A)). x dans C(C(A)) implique ?
Merci pour ta réponse cleanmen,
Bon alors pour moi C(C(A))={x € G/ pour tout a € C(A), ax=xa} donc si on prend un x dans C(C(A)) on peut écrire que pour tout a dans C(A), ax=xa mais je ne vois pas quoi daire après et je ne vois pas pourquoi on prend un élément dans C(C(A)) je l'aurai pris dans A et j'aurai montré qu'il appartient à C(C(A)) ???
On te demande de montrer que A est inclus dans C(C(A)).
Il faut odnc montrer que pour tout élément de A, celui-ci est dans C(C(A)).
Prenons un élément quelconque de A, x.
reste à montrer que x est dans C(C(A)).
Dac, mais justement en prenant un x dans A je ne vois pas trop comment avancer pour la suite en fait je pense utiliser le fait que A est inclus dans C(A) mais je n'en suis pas sur c'est seulement ma pensée.
Bonsoir,Envoyé par jules345
généralement A n'est pas inclus dans C(A). En fait C(A) est l'ensemble des éléments qui commutent avec tous ceux de A, or dans A il peut exister des éléments qui ne commutent pas entre eux.
Pour montrer que A est inclus dans C(C(A)), on peut dire :
Si x est dans A alors tous les éléments de C(A) commutent avec x (d'après la définition de C(A)), ce qui veut dire aussi que x commute avec tous les éléments de C(A) donc x est dans C(C(A)) (qui est l'ensemble des éléments qui commutent avec tous ceux de C(A)).
