Bonjour,
J'aimerai résoudre l'intégrale suivante entre 0 et +l'infini:
[x^5/(1+x^6)]*sin(ax)dx avec a dans R
Il faut utiliser le théorème des résidus, j'ai essayé de chercher les singularités tels que 1+x^6=0 mais la puissance de 6 me perturbe trop...
Quelqu'un pourrait à décoller?
Salut,
-Ecris l'égalité : z^6 = -1.
-Ecris "-1" sous la forme d'exponentielle complexe (à 2kpi près).
-Mets le tout à la racine 6ème. --> tu obtiens les valeurs des racines de ton polynôme.
Oui j'y ai pensé tout à l'heure et donc je trouve ça:
z^6=+ou-i²=exp[i(2n+1)Pi/2]
donc z(n)=exp[i(2n+1)Pi/12] pour n=0,1,2,3,4,5
Après je ne suis pas très sûre de moi:
Maintenant, je mets l'intégrale sous la forme:
I(a)= 1/2[z^5/(1+z^6)]*exp(iaz)dz, en prenant comme borne d'intégration: - à+ l'infini
Je dois choisir un contour pour calculer le résidus (c'est bien ça?)
Pour moi, les valeurs qui appartiennent au demi cercle supérieur sont pour n=0,2,4
Et donc je dois calculer le résidus de cette manière:
Res(f,a)=g(a)/h'(a) que j'applique aux trois valeurs de n
Non pas exactement. Tu écris l'égalité z^6 = -1donc z(n)=exp[i(2n+1)Pi/12] pour n=0,1,2,3,4,5
Ce que tu réécris comme étant : z^6 = exp[ i(2kpi + pi) ] = exp[ ipi ] * exp[ i2kpi ] = -1 * 1 = -1
Et tu trouves donc z = exp [ i (kpi/3 + pi/6) ]
Tu prends ensuite les 3 pôles dans le plan imaginaire supérieur ( i > 0) --> k = 0,1 et 2.
Ensuite tu calcules tes résidus comme tu l'as montré et tu as trouvé ton résultat à 2 pi i près!
Tu as compris la méthode mais juste une petite faute de calcul
Merci beaucoup pour la correction!
