base de fonction et base de vecteurs

[invite9c7554e3]

salut tous,

avant de commencer je voudrais juste vous dire que mes souvenir de math sur les espaces sont loin, donc s'il vous plait pas de reponses trop compliquée

=> si mais souvenir sont bon, dans un espace vectoriel si on a une base alors ont peut definir n'importe quel vecteur pas combinaison lineaire des vecteurs de base ?

=> je voudrais donc faire l'analogie avec les bases de fonctions. Si on a trouver des fonctions qui forment une base (par exemple cosinus et sinus entre et ) alors ont peut ecrire n'importe quelle fonction par combinaison lineaire de cosinus et sinus dans l'intervalle ?

=> ceci veut dire si on utilise des polynomes (ou n'importe quelles autres fonctions) qui sont orthogonaux sur alors ça veut dire que toute fonction dans R peut etre definie exactement par une combinaison lineaire de ces fonctions de bases ?

1°) la seule 1ere différence entre les espaces vectorielles et espaces de fonction c'est que dans le deuxieme cas la base n'est pas definit sur tout le domaine mais mais sur une plage (comme et pour les fonctions cosinus et sinus) ??

2°) la 2eme différence est qu'un vecteur qui est une combinaison lineaire de vecteur de base est definit strictement; par contre la fonction F qui est une combinaison des fonctions de bases "f" n'est definie correctement que si la combinaison de fonction de base est infinie ?
=> par exemple, si on veut faire un sinal carré à l'aide de polynomes orthogonaux il nous faudrait une somme infinie de polynome de legendre ?

ai je bien compris ?
-----

[invite07dd2471]

Salut

=> OK.
=>sin et cos forment pas vraiment une base. C'est l'ensemble des fonctions et , qui forment une base de l'ensemble des fonctions périodiques, on peut étendre ce résultat aux fonctions T-périodiques quelconques avec un bon changement de variable. Tu peux regarder le théorème de Dirichlet. On peut avoir selon les hypotheses convergence ponctuelle ou uniforme.
=>je comprends pas trop ce que tu veux dire

1) la différence entre un espace vectoriel est un espace de fonction, c'est qu'un espace vectoriel, c'est pas forcément un espace de fonctions ! Mais la plupart des EV de fonctions (à part les polynomes de degré donné ou autres cas particuliers) sont de dimension infinie. Après tu peux avoir des EV de fonctions sur [0;1], ou autre ça n'a pas d'importance.

2) quand la base est infinie, tu peux considérer quand même une combinaison linéaire finie, suffit de mettre les autres coeffs à 0. Par contre pour les combinaisons linéaires infinies, en analyse, ça pose des problèmes de convergence (d'ou pour l'analyse de Fourier les thm de Dirichlet, etc)

Le signal carré, je me souviens plus comment il se construit au juste faut que je regarde

[invite9c7554e3]

=> OK
=> si j'ai bien compris:
- dans un espace vectoriel de dimension 3 il faut que les 3 vecteurs de base pour d'écrire n'importe quel vecteur quelconque
- espace de fonction (c'est quoi la dimension? comment on la connait?=> nb de variables?) il faut une infinité de fonction de base pour déterminer une fonction quelconque, si on ne prend que quelques fonctions de la base alorson aura une approximation de la fonction que l'on souhaite représenter à l'aide des fonctions de base ?

=> en general les fonction qui sont orthogonales ne le sont que dans un domaine réduit (par exemple les polynomes de Legendre entre -1 et +1) ça veut dire que ces polynomes ne forment une bases que dans ce domaine -1 + 1 ? et qu'une fonction quelconque ne peut etre une composition de ces polynomes que dans ce domaine ?
si il existe (existerai) un polynome similaire mais orthogonal entre [TEX]-\infty[\TEX] et [TEX]\infty[\TEX] alors on peut former une fonction quelconque à partir de ces polynomes non plus sur -1 +1 mais sur R ?

1°) d'accord je comprend un peu mieux, une base de fonction n'est donc pas finie en general (ca rejoind ce que tu m'as dit dans le deuxieme tiret "=>")
2°) OK je comprends ce que tu veux dire


MERCI POUR CES SUPER EXPLICATIONS!

[invite07dd2471]

=> La dimension en général on la connait en cherchant une base. C'est à dire qu'on cherche à écrire n'importe quelle fonction de l'espace comme combi linéaire d'autres fonctions (écriture unique). La dimension sera le nombre d'éléments de la base.

Ensuite si tu as un espace de dim infinie, tu peux avoir quand même des éléments qui n'ont besoin que d'un nombre fini d'éléments pour être exprimés. Par exexemple si t'as un espace E de dim infinie, et de base . Alors () donc les coeffs devant les autres vecteurs de base sont tous égaux à 0 dans la décomposition.

=> Tu peux avoir des orthogonalité sur [0;1], [-1;1] ou même , ce que tu veux en fait comme intervalle de . En effet dans le cas des polynomes de Legendre, c'est [-1;1]. L'orthogonalité se fait pour le produit scalaire défini par intégrale (c'est souvent le cas pour des fonctions) :



Ce qui fait des polynomes de Legendre une famille orthonormale (et même ce sera une base) de où représente la mesure de Lebesgue ( pas trop d'importance pour toi, c'est la manière usuelle que tu as de faire des intégrales). Le fait que ce soit une base est un résultat complexe, démontré par j'ai oublié qui en 1975.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ce6aa19]

Salut




=>sin et cos forment pas vraiment une base.

Bonjour,

Pourquoi sin et cos ne formerait une base de fonction?

par exp( ) = Cos( ) + I.sin ( )

qui est bien un espace vectoriel de dimension 2 sur le corps des complexes. Non?

[invite07dd2471]

Je l'avais compris comme voulant dire base d'espace de fonction, et à ma connaissance sin et cos ne forment pas une base d'un espace de fonction.
( (cos(2),0) , (0,sin(2)) ) est par exemple une base de car si (x,y) est dans , alors . Mais ça n'a strictement aucun intéret, ça marche avec n'importe quels a et b différents de 0.

[invite07dd2471]

Bonjour,

qui est bien un espace vectoriel de dimension 2 sur le corps des complexes. Non?

Et qui est un espace vectoriel ? sin ? Cos ? exp ? et la base ? une base est une famille génératrice minimale d'un EV. Je sais pas ou tu as vu que sin() et cos() sont une famille génératrice de

[inviteea028771]

Ce qui fait des polynomes de Legendre une famille orthonormale (et même ce sera une base) de où représente la mesure de Lebesgue ( pas trop d'importance pour toi, c'est la manière usuelle que tu as de faire des intégrales). Le fait que ce soit une base est un résultat complexe, démontré par j'ai oublié qui en 1975.

Les polynômes de Legendre ne sont pas une base de L²([-1,1]), mais une base de Hilbert de L²([-1,1]), ce qui est différent.

Une famille libre B d'éléments de E n'est une base de E que si tout élément de E s'écrit comme combinaison linéaire finie d'éléments de B

Je l'avais compris comme voulant dire base d'espace de fonction, et à ma connaissance sin et cos ne forment pas une base d'un espace de fonction.

Bah si... même si il s'agit d'un espace assez pauvre (isomorphe à R²):

[invite9c7554e3]

je crois que je comprends mieux.

=> prenons donc l'exemple des series de fourier

=> La dimension en général on la connait en cherchant une base. C'est à dire qu'on cherche à écrire n'importe quelle fonction de l'espace comme combi linéaire d'autres fonctions (écriture unique). La dimension sera le nombre d'éléments de la base.

- si je veux représenter une fonction sinusoidale il ne faudra qu'un seul élément de base de ma fonction (sin(2kpi), cos(2kpi)) pour représenter la fontion F, cela veut donc dire que la dimension de mon espace de fonction est 1
- si je veux représenter avec la meme base une fonction carré alors il me faut une infinité de fonctions de bases. La dimensions est infinie, donc dans "la réalité" je me contente d'une base de dimension très grande pour avoir une bonne approximation de la fonction carrée.

Ensuite si tu as un espace de dim infinie, tu peux avoir quand même des éléments qui n'ont besoin que d'un nombre fini d'éléments pour être exprimés. Par exexemple si t'as un espace E de dim infinie, et de base . Alors () donc les coeffs devant les autres vecteurs de base sont tous égaux à 0 dans la décomposition.

d'accord, c'est ce que l'on a donc dit ci dessus : sinus n'a besoin que d'une fonction de la base. Les autres fonctions ont les coeff 0 devant.

=> Tu peux avoir des orthogonalité sur [0;1], [-1;1] ou même , ce que tu veux en fait comme intervalle de . En effet dans le cas des polynomes de Legendre, c'est [-1;1]. L'orthogonalité se fait pour le produit scalaire défini par intégrale (c'est souvent le cas pour des fonctions) :

j'ai pas bien compris "ce que tu veux en fait comme intervalle de "
=> ce n'est pas nous qui choisissons l'intervalle, il est donné par le type de polynome utilisé ?

=> OK pour le produit scalaire j'ai compris. Donc les polynomes de Legendre ne peuvent servir de bases que dans l'intervalle [-1;1].
Si j'ai une fonction qui doit être décomposée sur [-10;10] il faurdra que je cherche d'autres polynomes pour faire ma decomposition ?

Ce qui fait des polynomes de Legendre une famille orthonormale (et même ce sera une base) de où représente la mesure de Lebesgue ( pas trop d'importance pour toi, c'est la manière usuelle que tu as de faire des intégrales). Le fait que ce soit une base est un résultat complexe, démontré par j'ai oublié qui en 1975.

L^2[-1,1] ça signifie que l'on est dans un espace de fonction dont la base est definie sur [-1,1] ? que veus dire le 2 ?

[invite7ce6aa19]

Je l'avais compris comme voulant dire base d'espace de fonction, et à ma connaissance sin et cos ne forment pas une base d'un espace de fonction.
( (cos(2),0) , (0,sin(2)) ) est par exemple une base de car si (x,y) est dans , alors . Mais ça n'a strictement aucun intéret, ça marche avec n'importe quels a et b différents de 0.

Je suis physicien et non mathématicien. Il y a quelque chose qui m'échappe.

selon les axiomes de l'espace vectoriel si on 2 objets V et W et que l'on peut former une combinaison linéaire tel que:

C = a.V + b.W

A condition que V ne soit pas colinéaire a W auquel cas l'espace est de 1 dimension.

par exemple les élements de l'espace vectoriel peuvent être des matrices carré 2.2 qui se décompose dans un espace de dimension 4.


désolé je n'ai pas compris ton objection, il semble que tu ramènes le problème a celui des nombres complexes donc des couples de nombres réels.

Il me semble qu'il y a une grosse différence entre le nombre f (x°) où x° prend une valeur et

la fonction que je note f( ) qui représente un tableau constitué d'une infinité de nombres réels.

[invite07dd2471]

Le 2 signifie de carré intégrable.

Tryss : ok pour base de Hilbert, j'ai pas voulu rentrer dans ces distinctions, je sais que c'est pas bien désolé
Pour ton espace E, ok aussi (j'oublie toujours ces trucs ^^). Par contre je vois toujours pas le lien avec l'exp

[invite07dd2471]

Mariposa : Oui il y a une grosse différence c'est pour ça que cos() et sin() ne forment pas une base de . Ce sont des fonctions et est constitué de couples de réels.

21did21 : Tu fais une confusion (peut etre à cause de moi j'ai un peu trop expliqué "avec les mains"). Dans le cas des séries de Fourier, on a convergence de la série de la Fourier vers la fonction sous certaines hypothèses, et l'espace considéré est celui des fonctions périodiques de période 2pi. Si tu regardes la fonction x->cosx, elle est 2pi périodique, elle ne s'écrit qu'à l'aide "d'un seul vecteur" de base, mais on est toujours plongé dans un espace de dimension infinie.

[invite9c7554e3]

Le 2 signifie de carré intégrable.

super, merci!!!

=> par contre pourquoi de carré intégrable ? pour que le produit scalaire puisse exister ? car sinon ceci n'existerai pas

[invite9c7554e3]

21did21 : Tu fais une confusion (peut etre à cause de moi j'ai un peu trop expliqué "avec les mains"). Dans le cas des séries de Fourier, on a convergence de la série de la Fourier vers la fonction sous certaines hypothèses, et l'espace considéré est celui des fonctions périodiques de période 2pi. Si tu regardes la fonction x->cosx, elle est 2pi périodique, elle ne s'écrit qu'à l'aide "d'un seul vecteur" de base, mais on est toujours plongé dans un espace de dimension infinie.

Si j'ai compris ton explication alors ça veut dire qu'un espace de fonction est donc toujours de dimension infinie ?

=> par contre j'ai un dernier petit soucis. En physique on prend 6 harmonique par exemple pour représenter une fonction carré qui en demanderait theoriquement une infinité pour etre représentée
=> on dit quoi ça mathematiquement ? la dimension est infinie mais on en considére qu'une partie de l'espace de fonction

[invite07dd2471]

Euh oui je pense que c'est notamment pour l'existence du produit scalaire, et de la norme.

Pour la dim de l'espace, on peut avoir des espaces de fonctions de dim finie, mais une fois qu'on est dans un espace de dim infinie, ce n'est pas parce qu'on a besoin que d'une nombre fini de vecteurs pour exprimer un élément que ça change la dimension de l'ev (cf la très bonne remarque de Tryss, sur la réelle définition d'une base - moi j'ai expliqué sans faire distinction entre base et base de hilbert).

Pour la question sur les harmoniques je ne peux pas te répondre, je sais plus trop ce qu'est une harmonique mais il me semble que c'est question d'approximation. Cela dit repose la question (ici ou forum de physique) dans un nouveau topic

[invite7ce6aa19]

Bah si... même si il s'agit d'un espace assez pauvre (isomorphe à R²):

Merci, cette réponse me convient et me rassures.


J'en profite pour voir une autre façon qui sont celles des physiciens (enfin je crois).

une fonction f(x) peuvent être vu (en pratique)comme un vecteur colonne (ou ligne pour son dual) de dimension infini.

Ce qui veut dire qu'il y a un isomorphisme (ou quelque chose de proche) entre fonctions et matrices colonne.

Par conséquent la fonction sinus et la fonction cosinus sont 2 matrices de dimension infinie dont l'une ne peut être engendré par l'autre.

Une application de ceci est lorsque l'on définit le produit scalaire usuel de 2 fonctions.


Matriciellement il s'agit d'un produit vecteur ligne par un vecteur colonne qui donne un nombre.


qu'en-penses les mathématiciens?

[invite9c7554e3]

super ! merci pour ton aide !
j'aime beaucoup tes explications, je les trouves super claires !

Tryss:
je n'ai pas compris la différence entre une base espace L^2 (c'est quoi son nom?) et une base de Hilbert. Un espace L^2 est vectoriel et Hilbert base fonctionnelle ?

[invite7ce6aa19]

Si j'ai compris ton explication alors ça veut dire qu'un espace de fonction est donc toujours de dimension infinie ?


=> par contre j'ai un dernier petit soucis. En physique on prend 6 harmonique par exemple pour représenter une fonction carré qui en demanderait theoriquement une infinité pour etre représentée
=> on dit quoi ça mathematiquement ? la dimension est infinie mais on en considére qu'une partie de l'espace de fonction

Bonjour,

Du point de vue physicien cela ne me plait pas trop.

Exemple:

Une fonction périodique quelconque que l'on décompose en série de Fourier relève d'un espace vectoriel de dimension infini. C'est l'exemple que tu as donné.

Contre-exemple:

La dynamique d'un électron dans un puit quantique s'exprime dans une base de fonctions finies.

Ces fonctions de bases sont les solutions d'un problème aux valeurs propres en l’occurrence les vecteurs propres d'un hamiltonien (équation de Schrodinger).

Il me semble que c'est la nature du problème qui fera que la base soit finie ou infinie.

[invite9c7554e3]

j'aime bien aussi tes explications physiques Mariposa, je trouve ceci complementaire.

Pourrais tu me réexpliquer les notiosn de matrices colonnes lignes et fonctions car je n'ai pas trop compris... mais ça à l'air intéressant

[Médiat]

Bonjour,

La dynamique d'un électron dans un puit quantique s'exprime dans une base de fonctions finies.

Ces fonctions de bases sont les solutions d'un problème aux valeurs propres en l’occurrence les vecteurs propres d'un hamiltonien (équation de Schrodinger).

Il me semble que c'est la nature du problème qui fera que la base soit finie ou infinie.

Pourriez-vous être plus explicite ?

Voulez-vous dire qu'il existe une base finie de fonctions telles que toutes les occurences de votre problème ont des solutions qui s'expriment dans cette base, ou que pour toutes les occurences de votre problème, il existe une base finie de fonctions qui permet d'en exprimer les solutions ?

Remarque générale : je n'ai pas beaucoup de temps, mais ce fil est très confus, et mériterait une synthèse capable d'évacuer les erreurs d'interprétation (par exemple qu'est qu'un espace de fonctions ? Pourquoi <sin, cos> ne serait pas un espace de fonction ? etc.)

[invite07dd2471]

Merci, cette réponse me convient et me rassures.


J'en profite pour voir une autre façon qui sont celles des physiciens (enfin je crois).

une fonction f(x) peuvent être vu (en pratique)comme un vecteur colonne (ou ligne pour son dual) de dimension infini.

Ce qui veut dire qu'il y a un isomorphisme (ou quelque chose de proche) entre fonctions et matrices colonne.

Par conséquent la fonction sinus et la fonction cosinus sont 2 matrices de dimension infinie dont l'une ne peut être engendré par l'autre.

Une application de ceci est lorsque l'on définit le produit scalaire usuel de 2 fonctions.


Matriciellement il s'agit d'un produit vecteur ligne par un vecteur colonne qui donne un nombre.


qu'en-penses les mathématiciens?

Visuellement c'est intuitif. après je dirai pas isomorphisme entre fonctions et matrices colonnes mais plutôt "on assimile".

Merci, cette réponse me convient et me rassures.

Matriciellement il s'agit d'un produit vecteur ligne par un vecteur colonne qui donne un nombre.


qu'en-penses les mathématiciens?

Et comme "la dimension est infinie", et même plus fort, pour une fonction, on a la puissance du continu, on fait une intégrale au lieu d'une somme.

Moi je suis ok ça évite toutes les def trop théoriques si on en a pas besoin et qu'on veut juste savoir quel calcul faire !

[invite07dd2471]

Remarque générale : je n'ai pas beaucoup de temps, mais ce fil est très confus, et mériterait une synthèse capable d'évacuer les erreurs d'interprétation (par exemple qu'est qu'un espace de fonctions ? Pourquoi <sin, cos> ne serait pas un espace de fonction ? etc.)

Je le ferai un peu plus tard quand mariposa aura donné les explications physiques de tout ça ! si j'ai le temps sinon j'espère que quelqu'un pourra le faire.. et <sin,cos> pas un espace de fonctions car j'ai dit une ( (très) grosse) connerie

[invite7ce6aa19]

Bonjour,


Pourriez-vous être plus explicite ?

Bonjour,

Je vais essayer

Voulez-vous dire qu'il existe une base finie de fonctions telles que toutes les occurences de votre problème ont des solutions qui s'expriment dans cette base, ou que pour toutes les occurences de votre problème, il existe une base finie de fonctions qui permet d'en exprimer les solutions ?

C'est la première phrase qui est la bonne.

pour être précis (au sens du physicien) et très concret pour tout le monde.


Les fibres optiques qui véhiculent les informations dans le réseau sont des fibres monomodes (cad que les solutions du champ électromagnétique radiale n'ont qu'une seule et unique solution mathématique).

L'espace de fonction est de dimension 1. Au départ on a travaillé sur des fibres multimodes dont le nombre de solutions étaient limitées. Pour des raisons que je ne vais pas expliquer ici la bande passante de ces fibres est beaucoup plus faible (que celle des fibres monomodes.)

Pour revenir à ta question, c'est donc la nature du problème qui détermine, selon moi, la dimensionnalité de l'espace vectoriel.

Remarque générale : je n'ai pas beaucoup de temps, mais ce fil est très confus, et mériterait une synthèse capable d'évacuer les erreurs d'interprétation (par exemple qu'est qu'un espace de fonctions ? Pourquoi <sin, cos> ne serait pas un espace de fonction ? etc.)

Je suis demandeur, merci d'avance.

[invite7ce6aa19]

Visuellement c'est intuitif. après je dirai pas isomorphisme entre fonctions et matrices colonnes mais plutôt "on assimile".

Je crois de beaucoup physiciens font ainsi. C'est à dire que l'on considère les choses infinies comme si elles étaient finies.

Ainsi il existe un isomorphisme entre vecteurs et matrices lignes en dimension finie, le physicien considère qu'il en est ainsi quand l'espace est infini.

C'est au mathématiciens de nous dire que cette extrapolation fini vers infini est dangereuse dans tel ou tel cas. chacun son métier

Moi je suis ok ça évite toutes les def trop théoriques si on en a pas besoin et qu'on veut juste savoir quel calcul faire !

Pas seulement faire des calculs! La physique théorique ressemble furieusement aux mathématiques dans le sens où les 2 métiers manipulent

des choses très abstraites. La différence se fait sur la rigueur qui parait très souvent inutile aux physiciens (a tord ou à raison)

[Médiat]

L'espace de fonction est de dimension 1.

Du coup j'ai du mal à voir l'intérêt qu'il y a à parler d'espace vectoriel, quelles sont les propriétés d'un espace vectoriel qui sont utilisées ?

Pour revenir à ta question, c'est donc la nature du problème qui détermine, selon moi, la dimensionnalité de l'espace vectoriel.

De cela je n'ai jamais douté.

[invite9c7554e3]

Mariposa:
=> j'ai regardé sur wiki et je n'ai pas vraiment compris ce que sont des morphismes et isomorphismes car les explications sont un peu trop matheuses à mon gout
=> du coup je n'ai pas vraiment compris ton explication physique

tu veux dire que toute fonction peux etre vue comme la multiplication d'une matrice ligne "infinie" qui contient les coefficients de la fonction par une matrice colonne "infinie" qui contient les varaibles ?

un peu comme un polynome: ?
P(x)=<A>.{X}

Je suis demandeur, merci d'avance.

moi aussi je suis demandeur, pourriez vous me le signaler si un telle synthese est redigée sur le sujet.
Je pense que dans ce type de synthese il serait bon de mettre deux partie : une bien theorique pour les matheux et une avec les mains pour les physiciens..

[invite7ce6aa19]

Du coup j'ai du mal à voir l'intérêt qu'il y a à parler d'espace vectoriel, quelles sont les propriétés d'un espace vectoriel qui sont utilisées ?

De cela je n'ai jamais douté.

Effectivement quand la dimension de l'espace vectoriel est 1 cela ne présente aucun intérêt.

Par contre lorsqu'il est fini comme dans les fibres multimodes, la connaissance de cet espace de fonctions est primordial.

Pour être explicite:

Supposons que l'on puisse exciter un seul mode de la fibre multimode a l'entrée de la fibre.

Comme il y a des couplages aléatoires entre les modes (ce sont les défauts de géométrie de la fibre qui sont responsables, par exemple)

l'énergie finit, au bout d'un certain temps, a se répartir sur tous les modes, ce qui veut dire que pour impulsion, celle-ci va s'élargir, ce qui est très mauvais pour la bande passante.

C'est pourquoi il faut connaitre l'espace des modes.

En pratique le problème a été résolu avec les fibres monomodes (par contre les défauts de géométrie renvoie en arrière de l'énergie, ce qui est autre problème)

[invite7ce6aa19]

Mariposa:
=> j'ai regardé sur wiki et je n'ai pas vraiment compris ce que sont des morphismes et isomorphismes car les explications sont un peu trop matheuses à mon gout
=> du coup je n'ai pas vraiment compris ton explication physique

L'isomorphisme c'est la correspondance 2 a 2 entre des objets de 2 espaces différents.

Je vais te donner un exemple d'isomorphismes entre espace vectoriels de dimension 3

A- Vecteurs et matrices


Soit l'espace vectoriel euclidien "usuel" (tu as définis le produit scalaire usuel) de tous les vecteurs de norme 1

Autrement dit les flèches du vecteur "pointent sur une sphére.

Si tu choisis une base orthogonale Ex, Ey, Ez

Un vecteur dans cette base s'écrit V = Ax.Ex + Ay.Ey + Az.Ez

Il y a une correspondance 2 à 2, cad un isomorphisme, entre chaque vecteur et la matrice colonne

B- Formes linéaires et matrices

Si tu as définis l'espace des formes linéaires (qui a donné le produit scalaire) tu as également un isomorphisme d'une forme de E* (l'espace dual) avec une matrice ligne.


C- Polynomes et vecteurs


Si tu as un polynome du second degré a + b.X + c.X2

Là encore il y a un isomorphisme entre les polynomes du second degré et les vecteurs de E3



D- Matrices 2.2 (Pauli) et vecteurs

Les 3 matrices de Pauli de dimension 2 a coefficients complexes sont isomorphiques aux 3 vecteurs Ex, Ey, Ez

En conséquences une combinaison linéaire des 3 matrices de Pauli avec les coefficients Ax, Ay, Az rélisent un isomorphisme entre les vecteurs de E3 et le Matrices de trace nulle et de déterminant 1

qui appartiennent a SU(2). Derrière cet isomorphisme il y a la façon de representer le groupe des matrices 3.3 par des matrices 2.2.


En voilà des isomorphismes.

A+ je m'en vais.

[Médiat]

L'isomorphisme c'est la correspondance 2 a 2 entre des objets de 2 espaces différents.

Voila un exemple de ce qui m'a fait réagir par une remarque précédemment, cette affirmation n'a rien de mathématique et n'est pas une définition d'un isomorphisme.

Dans les exemples, la phrase "Soit l'espace vectoriel euclidien "usuel" de tous les vecteurs de norme 1" ne fait pas que porter à confusion, soit elle n'a pas de sens, soit, en faisant un effort d'interprétation pour lui donner un sens, elle est franchement fausse.

[invite9c7554e3]

merci pour ces éléments.
(je t'avous que j'ai pas trop saisie mais j'arrive à avoir une image de ce que c'est, merci).