geometrie vectorielle

[invitee0960580]

Bonjour je ne comprends pas comment précéder pour résoudre cet exercice:

Trouver l'équation du plan passant par la droite d'équations
x + y - z - 1 = 0
2x - y + z + 3 = 0

et parallèle à la droite d'équation
5x + 2y - z = 0
x + y + 1 = 0

Merci pour votre aide
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[invite705d0470]

Bonjour,
je suis moi aussi entrain d'étudier la géométrie dans l'espace, alors je ne suis pas certain de ma réponse, mais voilà comment je vois les choses.

Dans un premier temps, on peut utiliser la propriété des faisceaux de plans, qui donne l'équation de tous les plans passant par une droite. Si D est la droite d'équation: où P1 et P2 sont les équations de plans (de directions différentes, bien sûr), alors on a l'équivalence:
"P est un plan contenant D" si et seulement si "P admet une équation combinaison linéaire des deux autres: avec "

Mais pour simplifier le problème, on remarque que le plan d'équation passe aussi par D ! Les plans du faisceau auront alors une équation de la forme


Le plan sera parallèle à la droite si et seulement si la direction de la droite est incluse dans celle du plan.
La droite de cet exercice est l'intersection de deux plans de vecteurs normaux et , elle a donc pour vecteur directeur .

Cherchons maintenant la direction du plan P, c'est à dire deux vecteurs non colinéaires dont les coordonnées vérifient. On trouve par exemple (ce qui me parait vraiment bizarre !!) et , si , ce qui est bien la cas ! On a donc la direction de P.
On cherche donc un couple tel que .
On en vient à résoudre un système qui donne . On a par exemple .

Une équation du plan recherché serait donc .


Mais je ne suis sûr de rien ! J'espère ne pas avoir écrit d'absurdités, mais j'en ai bien peur ... :/