bonjour à tous voila je bloque sur la fin d'un DM...impossible de finir...j'aurai besoin de votre aide si possible!
3. Soit H un hyperplan de E. u une forme linéaire non nulle sur E
3.1. On suppose H = ker u non fermé. Montrer que pour tout x dans E (E evn sur R) , {x} + H est dense dans
E ; en déduire que A+interA- est non vide.
En sachant que A+ = {xdansE ; u(x) > 0} et A- = {xdansE ; u(x) < 0}
merci d'avance
Indication : L'adhérence de H est un sous-espace vectoriel de E qui contient strictement H.
Par contre, avec les définitions données, un élément x de l'intersection de A+ et de A- doit satisfaire :
u(x)>0 et u(x)<0,
ce qui est totalement impossible, et l'intersection est donc vide.
erreur de frappe pour la 2eme question c'est A+inter(adhEA-) non vide
l'adhérence de {x} + H c'est {x}+adh(H)?
C'est bizarre mais un hyperplan est un sous-espace vectoriel. Or un sous-espace n'est-il pas toujours fermé??
Oups, oubliez ce post, j'ai faux.Envoyé par indian58
Si H est dense dans E, alors, par translation, {x}+H est dense dans {x}+E=E : x+h est voisin de y si, et seulement, si h est voisin de y-x.
donc si je comprends bien suffit que je montre que H est bien dense dans E?
Oui, il suffit de prouver qu'un hyperplan non fermé est dense.
j'ai bien réussi à montrer que c'était dense mais je n'arrive pas à montrer que A+inter(adhEA-) non vide...
Si,
ben ||y-x||=||2h|| et u(y)=2u(h)-u(x)=-u(x) vu que h est dans H...
Il reste à se servir de ces valeurs pour conclure.
on a donc y dans A- x=2h-y={y}+H donc x est dense dans E d'après la question précdente? et je dois donc montrer que ce x est dans adhEA-?
Oui.
Un vecteur n'est certainement pas dense à lui tout seul.
Oui.
