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base de Imf et kerf à partir d'une matrice



  1. #1
    spartan3492

    base de Imf et kerf à partir d'une matrice


    ------

    bonjour j'aurais besoin d'aide pour un petit exercice d'algèbre
    soit f un endomorphisme de E dans E et A sa matrice pour la base B (base canonique):

    A=1 1 1 1
    1 2 1 1
    a 0 0 a
    0 0 0 0

    -si a=0, rg(A)=2 donc dim Imf=2 et dim Kerf=2
    -si a different de 0 rg(A)=3 donc dim Imf=3 et dim Kerf=1

    1)montrer que dans tous les cas, on peut prendre pour base de Imf une base B' extraite de B
    2)donner une base de Kerf
    3)imf et kerf sont-ils supplementaire de E?

    pour la 1) il faut trouver une base pour chaque cas ? ou ya-t-il un moyen de prouver leur existence sans calculer ces bases ?

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    cleanmen

    Re : base de Imf et kerf à partir d'une matrice

    salut,
    aucun calcul pour trouver une base de l'image: Que représente les vecteurs colonnes de la matrice?

  4. #3
    spartan3492

    Re : base de Imf et kerf à partir d'une matrice

    si B'=(e1,e2,e3,e4) chaque vecteur colonne c'est : f(e1),f(e2,)f(e3),f(e4) donc il faut prendre un famille libre parmi ces vecteur
    cas 1
    B'={(1,1,0,0);(1,2,0,0)}
    cas2
    B'={(1,1,0,0);(1,2,0,0),(1,1,a ,0)}
    c'est ça?

  5. #4
    ketchupi

    Re : base de Imf et kerf à partir d'une matrice

    Oui, mais vous devez encore montrer que cette base a été extraite de la base canonique. C'est une démonstration triviale.

    ++
    On ne force pas une curiosité, on l'éveille. Daniel Pennac

  6. A voir en vidéo sur Futura

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