base de Imf et kerf à partir d'une matrice

[inviteea9b4d19]

bonjour j'aurais besoin d'aide pour un petit exercice d'algèbre
soit f un endomorphisme de E dans E et A sa matrice pour la base B (base canonique):

A=1 1 1 1
1 2 1 1
a 0 0 a
0 0 0 0

-si a=0, rg(A)=2 donc dim Imf=2 et dim Kerf=2
-si a different de 0 rg(A)=3 donc dim Imf=3 et dim Kerf=1

1)montrer que dans tous les cas, on peut prendre pour base de Imf une base B' extraite de B
2)donner une base de Kerf
3)imf et kerf sont-ils supplementaire de E?

pour la 1) il faut trouver une base pour chaque cas ? ou ya-t-il un moyen de prouver leur existence sans calculer ces bases ?
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[invite34b13e1b]

salut,
aucun calcul pour trouver une base de l'image: Que représente les vecteurs colonnes de la matrice?

[inviteea9b4d19]

si B'=(e1,e2,e3,e4) chaque vecteur colonne c'est : f(e1),f(e2,)f(e3),f(e4) donc il faut prendre un famille libre parmi ces vecteur
cas 1
B'={(1,1,0,0);(1,2,0,0)}
cas2
B'={(1,1,0,0);(1,2,0,0),(1,1,a ,0)}
c'est ça?

[invitec336fcef]

Oui, mais vous devez encore montrer que cette base a été extraite de la base canonique. C'est une démonstration triviale.

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[A voir en vidéo sur Futura]