Quotient d'un polynôme retors

[invite311a0156]

Bonjour à tous !

J'ai un exercice sur les polynômes à préparer et tous mes camarades ainsi que moi-même séchons dessus.

Voici l'énoncé :

Montrer que pour tout , le polynôme P défini par

est divisible par . Calculer le quotient.


C'est sur le calcul du quotient que je bute. J'ai essayé de faire une division euclidienne en développant P et (X-2)(X-3) mais cela ne donne rien d'utilisable pour P à cause de l'exposant n qui se développe en binôme de Newton donc en somme jusqu'à n. Et je ne vois pas comment faire une division euclidienne sans développer le (X-2)(X-3). J'ai aussi essayé de poser P(X) = (X-2)(X-3)Q(X) et d'identifier mais je bute encore sur le binôme de Newton...

Une idée ?

Merci d'avance !
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[indian58]

P(x)=(x-2)^n+((x-3)^2n-1)=(x-2)^n+(x-2-1)^2n-1=(x-2)^n+((x-2)²-2(x-2)+1)^n-1=binôme de Newton..., et tu trouveras le quotient de P par(x-2).

[invite311a0156]

Merci indian58 de ta réponse, mais pourrais-tu expliquer le "= binôme de Newton" ?

[indian58]

Tu développes le ((x-2)²-2(x-2)+1)^n -1 avec le binôme de newton en ne touchant pas aux (x-2). Comme ça, le +1 s'annulera avec le -1 et tu pourras factoriser par (x-2).

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Il me semble plus simple de faire apparaître la somme des termes d'une suite géométrique en utilisant la factorisation de par et, pour un exposant impair, la factorisation de par :



Et il reste à écrire la factorisation de par

[invite311a0156]

Merci pour vos réponses... Finalement, la solution la plus simple (soufflée par un de mes camarades) était de procéder par récurrence, en utilisant P(n+1) - P(n)