[SUP]Suite définie par une relation de récurrence

[invite79fa2387]

Bonjour,
Voilà après une semaine de reflexion, un exercice de mon DM de maths reste retord, et j'ai donc besoin de vos connaissnaces s'il vous plait, ce cher DM étant a rendre pour demain =S

Voici donc l'exercice (entre crochet les indices de la suite, pour que ce soit compréhensible)

Soit (Un) la suite réelle définie par: U0=1, U1=0
et pout tout n appartenant a N, U[n+2]=(n+1)(U[n+1]+U[n])

a) n, calculer U[n+1]-(n+1)Un


==>j'ai trouvé -(U[n]-n*U[n-1])

b) En déduire que n, U[n]/n! = Somme de(k=0 à n) de (-1)^k/k!

c)Montrer que U[n]=O(n!)


La b) je me suis lancé dans une récurrence, mais impossible de terminer l'hérédité, quant a la c), je pensais vérifier que Un/n! était bornée, mais je n'arrive pas a encadrer la somme



Voilà merci beaucoup par avance !
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[invitea3eb043e]

Faut dire qu'on te guide pas mal, et heureusement !
On voit qu'il faut introduire des suites annexes :
v[n+1] = u[n+1] - (n+1) u[n]
Il est assez simple de trouver la relation de récurrence de la suite v (tu l'as fait) et d'en déduire la valeur de la suite v[n].
Ca permet de trouver une relation entre u[n+1] et u[n]
Ensuite on introduit une autre suite annexe w[n] = u[n]/n! et il fait trouver une relation entre w[n+1] et w[n] et ça donne le résultat cherché.
Le secret, c'est d'écrire très proprement les relations et de bien faire sortir les suites annexes.

[invite79fa2387]

Mince c'est assez évident en fait...une fois qu'on le sait =S

Par contre pour en déduire l'égalité entre Un/n! et la somme, j'ai repris ma récurrence, et en utilisant le fait que grace a la suite auxiliaire Vn on peut trouver que
U[n+1] = (n+1)U[n] + (-1)^k, en posant "Un/n! = Somme de(k=0 à n) de (-1)^k/k! " en hypothèse de récurrence, j'obtiens lors de l'hérédité:

U[n+1]/(n+1)! = U[n]/n! + (-1)^n/(n+1)!

alors qu'il faudrait avoir

U[n+1]/(n+1)! = U[n]/n! + (-1)^(n+1)/(n+1)!

pour conclure sur l'hérédité...=(



Pour la c), je peut encadrer la somme par -n et n, cela suffit t'il a dire que Un/n! est bornée et donc que Un est dominée par n! ? je trouve ça étrange d'obtenir un encadrement dépendant de n =/

[invitea3eb043e]

C'est bien n+1, vérifie tes calculs.
Pour le c, tu dois reconnaître la somme infinie, qui converge vers une constante finie connue, donc elle est bornée.

[A voir en vidéo sur Futura]