Polynôme - Décomposition - L1

[Martin47]

Bonjour,

Je n'arrive pas à décomposer le polynôme P = X^(6 ) +1 sur C et sur R.

Je connais la formule dans mon cours, mais je n'arrive pas à l'appliquer.

Merci
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[DSCH]

Sur C, il s’agit de trouver les racines sixièmes de -1, ce qui sous forme exponentielle ne devrait pas être trop difficile. Sur R, il suffit de regrouper ensemble les facteurs faisant apparaître deux racines conjuguées.

[Martin47]

Salut,
Merci de m'avoir répondu.
Mais justement comment faire ?

J'ai Rsixieme ( -1) = ?

[DSCH]

Tu veux résoudre . Sous forme exponentielle, tu écris (avec ) et . Tu en déduis , et les différentes valeurs possibles pour (attention, on travaille modulo avant de diviser par six…).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Martin47]

Tu peux détailler un peu plus stp ?
Je cherche, mais je ne trouve rien de concluant.

J'ai r= z/e^io, mais ensuite que faire ?

[DSCH]

Si , que vaut , en fonction de et ? Ensuite, tu dois identifier le résultat à . Je te rappelle que deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement s’ils ont même module, et même argument modulo : en clair, pour tous et réels strictement positifs, et tous et réels,
.

[Martin47]

Si , que vaut , en fonction de et ? .

z^6 = z^6 . e^6io

Et après je passe sous racine sixième ? Mais ça m'aide en quoi ?

Merci

[DSCH]

Il me semble que ce que tu entends par racine sixième, c’est une fonction définie pour les réels positifs seulement. Cela peut te servir à trouver le module, mais ce n’est pas la partie difficile (on a trivialement r=1). Pour les arguments, je te donne la méthode mais tu ne sembles pas m’avoir lu…

[Martin47]

Désolé, je suis perdus, et ça m'agace...
Je reprends pour essayer de mettre les choses au clair, désolé.
En faite, l'objectif c'est de trouver les valeurs de z en fonction de la puissance de X ? ( Ici, 6 )

Je sais que z = re^io.
z^6 = racine sixieme (r) et e^6io ?

Tu pourrais pas me donner la réponse stp ? Au moins la première, que je puisse travailler dessus. C 'est toujours plus simple de travailler et de comprendre avec un exemple en main.

C'est un exercice que je fais pour comprendre la décomposition, ce n'est pas qqch à rendre ou quoi...

Merci

[DSCH]

Je vois que tu as un peu du mal ; sans doute la faute aux programmes de lycée qui ne contiennent plus la notion de racine n-ième de l’unité… Je te donne maintenant une solution presque complète. On veut résoudre l’équation . On cherche les solutions sous forme exponentielle en posant (avec ). L’équation équivaut à , et donc à
.
La condition équivaut à car . L’autre condition équivaut à
.
Comme on veut travailler modulo , il suffit de choisir valeurs de consécutives pour avoir toutes les valeurs de possibles, à un multiple de près. Je te conseille de choisir pour mieux repérer les racines conjuguées plus tard… Tu obtiens ainsi les six racines complexes de ton polynôme.

[Martin47]

Salut,

Merci de m'avoir répondu.

Avant de me lancer dans les calculs, et te les montrer ( en espérant qu'ils soient justes ), dans ma formule k doit être compris entre 0 et n-1 ( soit 5).

Sans vouloir me montrer insolent ( ), tu n'aurais pas oublier cette propriété ?

Merci

[DSCH]

Tu peux prendre k entre 0 et 5 si tu veux, mais ça va être plus galère pour repérer les valeurs conjuguées. Je ne vois pas pourquoi k devrait être cantonné entre ces valeurs, alors que dans mon raisonnement il désigne n’importe quel entier relatif !

[Martin47]

Je sais pas non plus, c 'est inscrit dans mon fascicule

Donc pour k =0 : e^ipi/6
k=1 e^ipi/2 =i
k=2 e^i5pi/6
k=3 e^i.-5pi/6
k=4 e^i3pi/2 = -i
k=5 e^i11pi/6 = e^-ipi/6

T'en penses quoi ?

[DSCH]

Je trouve les mêmes valeurs, précisément en prenant les valeurs de k que je te suggérais, et non les tiennes qui demandent ensuite de retrancher deux pi à l’angle obtenu pour k>2 si on veut une mesure principale… Faire des mathématiques consiste à raisonner plutôt que recopier un fascicule… Mais bon, sur le fond, tu as maintenant tout ce qu’il te faut pour conclure.

[Martin47]

Quand on ne sait pas appliquer un théorème, il faut prendre les bases qu'on nous donne. Ce que j'ai fais.
C'est qu'avec l'expérience que je prendrais les valeurs adéquates.

Merci beaucoup pour ton aide.

Si je refais un exercice du même style, tu penses pouvoir le vérifier dans la soirée ?

Merci encore

Bonne soirée.

[DSCH]

De rien, tu as raison, l’expérience vient en pratiquant et je pense que les mathématiques sont parfois plus une question d’imprégnation que de pure compréhension.

Je ne sais pas si je serai connecté ce soir, mais le forum regorge de gentils matheux, dont beaucoup sont bien plus forts que moi et aident généreusement les autres, alors n’hésite pas à poster…

Si tu manques d’inspiration pour un exercice du même style, tu peux par exemple factoriser …