Bonsoir à tous !
Très chères mathématicien(nes), je sollicite votre aide car j'ai du mal à saisir une notion fondamentale de mon cours d'analyse.
En effet, après avoir donné la défintion d'une limite pour une fonction, mon cours propose un exemple pour l'illustrer. Il s'agit de prouver que x² tend vers 4 lorsque x tend vers 2.
Toute le raisonnement consiste à trouver un heta à epsilon et x fixés tel que abs(x²-4)<epsilon. Solution: heta=min(epsilon/5,1) convient.
Voilà le raisonnement que j'ai entrepris, une sorte d'analyse synthèse un peu trafiqué. Je raisonne par équivalence en partant de x au voisinnage de 2 ie il existe heta tel que : abs(x-2)<heta ie abs(x-2)abs(x+2)<heta*abs(x+2) ie abs(x²-4)<heta*abs(x+2)
Dès lors il convient de poser heta=epsilon/abs(x+2)
Or heta ne peut pas dépendre de x, étant au voisinage de 2 on a bien que abs(x+2)<5 d'ou le résultat. On a trouvé un heta qui dépende de epsilon ce qui sous entend que epsilon doit être suffisament petit pour qu'on soit au voisinnage de 2. Il n'y a aucune raison pour que heta dépende de epsilon, c'est sans doute de là que doit venir le coup de epsilon=min(epsilon/5,1) que je ne comprends pas. Le soucis c'est que cette astuce revient dans tout les exos du même type et que je ne vois pas pourquoi prendre le min entre epsilon/5, valeur pour laquelle le raisonnement précédent est corrélé et 1 qui sort ex nihilo.
Merci à tous pour vos futures réponses
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