surface de révolution

[invite59250f02]

Bonjour,
alors voila:
si j'ai une surface d'équation , comment peut on savoir si est une surface de révolution, existe-il des conditions sur ou autre condition..????

Merci pour votre aide
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[invite57a1e779]

La surface est de révolution si, et seulement si, on peut écrire une équation comme fonction d'une sphère et d'un plan, autrement dit si, et seulement si, tu peux mettre l'équation sous la forme : .

Tu peux aussi chercher l'intersection de ta surface avec l'ombilicale pour voir quelles sont les directions de plan pour lesquelles les points cycliques appartiennent à la surface.

[invite59250f02]

Bonjour,
Ok je vois, mais comment je pourrai utiliser tout ça dans mon exercice qui consiste à dire :
S est de révolution ssi en tout point M, la normale à S en M est parallèle ou sécante à OZ

[invite57a1e779]

En fait, tu cherches à savoir si la surface est de révolution d'axe Oz : le plus simple est de passer en coordonnées cylindriques, l'équation doit être indépendante de l'angle polaire .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite59250f02]

En fait, tu cherches à savoir si la surface est de révolution d'axe Oz : le plus simple est de passer en coordonnées cylindriques, l'équation doit être indépendante de l'angle polaire .

ok donc on va faire ainsi: mais dans ce cas l'equation dépend de .ou je me trompe peut etre..?????

[invite57a1e779]

Tout dépend de .

Pour le paraboloïde (de révolution...) d'équation : , le passage en coordonnées cylindriques conduit dans un premier temps à l'équation: dont l'écriture contient .
Mais, en effectuant les calculs, on obtient la forme simplifiée : , qui est bien une équation indépendante de : le paraboloïde est bien de révolution.

[invite59250f02]

ah, vous voulez dire que pour que S soit une surface de révolution il faut que l'équation z=f(x,y) ne dépend pas de théta lorsqu'on est en coordonnées cylindriques..??

[invite57a1e779]

Ben... oui, puisque rien ne se passe si on tourne autour de l'axe Oz.

[invite59250f02]

donc on aura:
;
;

[invite57a1e779]

Oui, c'est-à-dire que l'équation doit-être de la forme : .

[invite59250f02]

oui merci, et pour répondre à la question on prend le vecteur gradient de la fonction qui est un vecteur normal à cette surface ,donc:
; mais est-il forcément parallèle ou sécant à OZ..???

[invite57a1e779]

Il est plus simple d'utiliser la fonction , cela simplifie les calculs.

Un vecteur normal à la surface au point M de coordonnées est .

Cela n'a aucun sens de dire que ce vecteur est « sécant à Oz ».

C'est la normale à la surface, c'est-à-dire la droite passant par M et dirigée par un vecteur normal en M qui peut être « sécante à Oz ».

Là encore, les calculs sont plus sympathiques en coordonnées cylindriques.

[invite59250f02]

oui même dans l'exercice, ils disent que c'est la normale qui est sécante, ou parallèle...donc la droite normale passant par M(x_0,y_0,z_0) est =-2x g' a+x_0;y=-2y g' a+y_0;z=a+z_0;

[invite59250f02]

oui même dans l'exercice, ils disent que c'est la normale qui est sécante, ou parallèle...donc la droite normale passant par M(x_0,y_0,z_0) est =-2x g' a+x_0;y=-2y g' a+y_0;z=a+z_0;

je voulais dired=-2x g' a+x_0;yd=-2y g' a+y_0;zd=a+z_0;

[invite59250f02]

Là encore, les calculs sont plus sympathiques en coordonnées cylindriques.

j'ai pas compris comment je dois terminer, pourriez-vous m'aider un peu plus..??

Merci encore pour votre aide

[invite57a1e779]

On écrit le gradient sous la forme :



c'est-à-dire comme comme combinaison du vecteur et d'un vecteur radial. Il est alors facile de prouver que la normale est sécante ou parallèle à Oz.

[invite59250f02]

pour que la normale soit parallèle, je crois qu'il faudra que le vecteur radial s’annule..??

[invite57a1e779]

Oui, ce qui a lieu quand .

[invite59250f02]

et quand g'(x²+y²) est différént de 0, on aura que la droite est sécante à (OZ)

[invite59250f02]

puisque le vecteur normal est la somme de k avec un autre vecteur , donc forcement s'il coupe la droite (OZ) il l'a coupe à l'origine..??

[invite57a1e779]

Non, le vecteur ne coupe pas la droite !
C'est une droite dirigée par ce vecteur qui coupe la droite.

Tout est absolument évident sur une figure où l'on dessine le plan radial qui contient :
– l'axe Oz ;
– le point M ;
– le gradient.

[invite59250f02]

oui c'est bon je comprend maintenant , parce que le vecteur normal en un point M n'a aucune raison pour qu'il passe par l'origine...

[invite59250f02]

Merci infiniment pour votre aide