Equation de polynomes

[invitee8b9df23]

Bonjour,
je suis en PCSI et j'ai l'équation suivante à résoudre dans C[X] :

P(X²)=P(X)²

Je sais que P(X)= somme de n=0 jusqu'à +infini akX^k (ou ak sont les coefficients, X l'indéterminée)

Je vois pas du tout comment commencer si vous pouviez m'aider merci
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[invite57a1e779]

On peut essayer de chercher P sous forme d'un produit de facteurs du premier degré, ce qui est possible dans C[X], mais ne le serait pas dans R[X].

Tu peux remarquer que si a est racine de P, alors :

P(a²) = P(a)² = 0,

donc a² est encore racine de P.

Chacune racine en fournissant une nouvelle, il y a a priori beaucoup trop de racines pour un polynôme décent.

Cela doit donc imposer des conditions sur les racines de P.

[invitee8b9df23]

Je sais que si a une racine de P,
P(a)=0 donc P(a)²=0 mais comment trouve tu l'égalité P(a²)=0 ?

Si la racine est 2 on aurait P(2)=0 mais je vois pas pourquoi aussi P(4)=0 ?! (éclaire moi )

Pour une condition sur les racines de P, je vois pas trop ce que tu veux insinuer ?

[invite57a1e779]

Je ne fais qu'utiliser l'hypothèse : P(x²)=P(x)².

Effectivement : si 2 est racine, alors 4 l'est aussi, mais du coup, 16 également, puis 256, puis 256², puis...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee8b9df23]

Donc a^2n est aussi racine, mais en quoi cela m'aide pour une décomposition en polynôme irréductible ?

[invite57a1e779]

Le polynôme ne peut avoir qu'un nombre fini de racines.

Tu vas donc devoir jouer avec des racines telles que :
– 0, qui ne fournit pas de nouvelle racine par élévation au carré ;
– j, qui fournit la racine j², mais ensuite (j²)²=j, et on tourne en rond;
– i qui fournit la racine i²=-1, puis (-1)²=1, et on s'arrête là puisque 1=1.

Les seules racines de P seront de ce type : par itération du passage de a à a², on n'obtient qu'un nombre fini de racines.

Une fois listées les racines possibles, il faudra étudier les ordres de multiplicité possibles.

[breukin]

Le polynôme nul est solution.
Ensuite, je dirais soit le degré du polynôme supposé non nul, soit son terme de degré le plus évelé (avec ), et soit son terme de degré inférieur le plus élevé, non nul (avec et ).

Par identification des termes de plus haut degré dans l'égalité , à savoir , on doit avoir d'où .
Par ailleurs, le terme de degré inférieur le plus élevé non nul de est tandis que le terme de degré inférieur le plus élevé non nul de est . Ce qui est impossible, puisque et
Finalement, les polynômes non nuls vérifiant l'équation sont les .

[invitee8b9df23]

Merci pour ces explications, par contre je ne comprend pas trop d'ou sort le "2abX^2n-k" sachant que pour moi (bX^n-k)²=b²X^2n-2k ?

[breukin]

Certes
Mais

[invitee8b9df23]

D'accord, merci beaucoup, voila qui m'éclaire !