Bonjour,
Soit l'anneau A = F4[X] / (X^2 + X + 1 )
a) Combien A compte t-il d’éléments ? 4^2 = 16
b) Soit A* le groupe des inversibles de A. Combien A* compte-il d’éléments ?
c) Quelle est la caractéristique de l'anneau A ? j'hésite entre 2 et 4.
Merci d'avance.
Salut,
Dans un corps, qui sont les inversibles?
Pour la caractéristique, tu peux toujours reprendre la définition et chercher le noyau du morphisme de Z dans A qui a n associe n.1, si tu as un doute
Dans un corps, tous les éléments différent de 0 sont inversibles. Mais en quoi A est un corps ?
ah oui. Je n'ai pas du tout fait attention... désolé... à côté de ca x²+x+1 me semble pas mal irréductible dans F4[X] vu qu'il n'a pas de racine dans F4 donc (x²+x+1) est maximal.
Que faut F4 ? F4 = F2 / (X^2 + X + 1} = {0,1,a,a+1} avec a la classe de X modulo X^2 + X + 1 ?
oui.
Mais pour montrer que c'est un corps, il est plus facile de montrer que (x²+x+1) est maximal
Que voulez-vous dire par polynôme maximal ?
idéal maximal
J'utilise la propriété A/I coprs equivaut à I maximal.
Après si tu n'as pas vu ce genre de chose en cours, je vois très difficlement comment faire autrement que de chercher les 15 inverses de tes 15 elements.
La classe de Q dans K[X]/P est inversible si, et seulement si, P et Q sont premiers entre eux (preuve immédiate par le théorème de Bézout).Envoyé par babaa
Attention, X2+X+1 n'est pas irréductible sur F4 : X2+X+1=(X+a)(X+a+1).
On ne quotiente pas par un idéal premier, l'anneau A n'est pas intègre, et n'est donc pas un corps.
