Limite d'une intégrale

inviteec33ac08 · 12/12/2011, 20h05

Bonjour,
Voila on me demande de calculer $\text{[math]}$

Alors j'ai écrit que $\text{[math]}$ (Inverse d'une somme d'une suite géométrique de raison x et de premier terme 1) Bon la déja j'ai un problème parce que ma formule ne marche plus dans le cas x=1. Ensuite j'ai conjecturé que la limite de $\text{[math]}$ est la même limite que $\text{[math]}$ Donc on peut écrire que:
$\text{[math]}$ (par réduction au même dénominateur)
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ Donc on a bien $\text{[math]}$

Je ne vois pas comment faire si x=1 surtout que la limite trouvée serait alors 0, ensuite comment justifier que $\text{[math]}$ converge uniformémént vers $\text{[math]}$ ?
Merci de votre réponses

invite57a1e779 · 12/12/2011, 20h25

Bonjour,

Je ne vois pas où est ton problème : l'égalité

$\text{[math]}$

est vraie pour tout $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ puisqu'il s'agit de l'égalité polynomiale

$\text{[math]}$

divisée par $\text{[math]}$ qui est non nul.

Tu peux donc l'intégrer :

$\text{[math]}$

et, en remarquant que la dernière intégrale est positive, obtenir l'encadrement :

$\text{[math]}$

qui permet de conclure quant à la valeur de la limite :

$\text{[math]}$ .

Le point n'intervient pas de façon particulière dans ce calcul, et on n'a pas envisagée la convergence de la suite de terme général $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ , ni simplement, ni uniformément : on a court-circuité l'utilisation d'une suite de fonctions et on a traité directement la suite d'intégrales, c'est-à-dire une suite numérique.

inviteec33ac08 · 12/12/2011, 20h38

Re et merci de ta réponse, en fait c'est pour justifier $\text{[math]}$ car si x=1 cette formule n'est plus valable, ensuite puis je dire que vu que j'ai réussit à montrer que $\text{[math]}$ (par passage à la limite) alors $\text{[math]}$ converge uniformément sur [0,1] vers $\text{[math]}$ En fait mon prof a mis cette exercice dans le chapitre des suites de fonctions c'est pour cela que je veux faire intervenir la convergence uniforme.

invite57a1e779 · 12/12/2011, 20h46

Envoyé par jules345

Re et merci de ta réponse, en fait c'est pour justifier $\text{[math]}$ car si x=1 cette formule n'est plus valable

Le truc, c'est que tu n'utilises jamais cette formule, tu n'as donc pas à te soucier de savoir pour quelles valeurs de $\text{[math]}$ elle est vraie ou fausse.

Envoyé par jules345

$\text{[math]}$ converge uniformément sur [0,1] vers $\text{[math]}$

Ce sont les suites de fonctions qui convergent (ou ne convergent pas...) uniformément, pas les suites numériques : les intégrales sont des nombres, pas des fonctions.

Si tu veux prouver la convergence uniforme sur $\text{[math]}$ de la suite de fonctions $\text{[math]}$ définies par : $\text{[math]}$ vers la limite $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ , il te faut borner $\text{[math]}$ (formule valable même pour $\text{[math]}$ ) sur $\text{[math]}$ indépendamment de $\text{[math]}$ .
Mais avec cette méthode, on ne travaille pas sur les intégrales : la convergence uniforme permet de conclure directement quant à la limite de la suite d'intégrales.

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inviteec33ac08 · 12/12/2011, 20h52

Merci, oui en effet j'aurai du mettre ce que j'ai écris entre parenthèse, par contre je ne connais pas l'égalité polynomiale que tu as écrit il y a un moyen de la retrouver ?

invite57a1e779 · 12/12/2011, 21h57

C'est tout simplement la formule : $\text{[math]}$ écrite sous la forme : $\text{[math]}$ .

Du coup elle est vraie pour tout $\text{[math]}$ , et pas seulement pour $\text{[math]}$ .

inviteec33ac08 · 12/12/2011, 22h41

D'accord, j'ai compris c'est bien joué, merci de ton aide

Limite d'une intégrale