sujet d'algèbre

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aurai besoin d'aide pour ce problème:

soit h l'endomorphisme de E dont la matrice relativement à une base B=(i,j,k) fixée est M=
0 0 3
1/3 1 -1
-1/3 0 2

le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de h sont: P_h(X)=-(X-1)³ et P_min(X)=(X-1)²

voici la question qui pose problème:
montrer avec ce qui précède qu'il existe un réel que l'on précisera tel que soit nilpotent d'ordre 2

dans le corrigé on dit:
comme le polynôme minimal de h est (X-1)², si l'on considère , soit on a u non nul et u²=0
donc u est nilpotent d'ordre 2
comment le polynôme minimal peut nous aider à trouver ?

voici une autre partie qui me pose problème:
E est un Kev de dimension 4. a et b dans R
soit f l'endomorphisme de E dont le polynôme caractéristique est (X-a)³ (X-b) et dont le polynôme minimal est (X-a)²(X-b)
A est la matrice de f dans une base B

1)E=Ker(f-aid)²+Ker(f-bid) et dimKer(f-aid)²=3
2) on pose g=f-aid et F=ker(f-aid)²
3) F est stable par g
b) soit h la restriction de g à F. Montrer que h est un endomorphisme nilpotent d'ordre 2 de F

dans le corrigé il dise que kerh=kerg inter F=kerg
pourquoi?

après pourquoi Kerh²=kerg² inter F=F?
et comment déduit-on h²=0

merci de votre aide
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[invite57a1e779]

le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de h sont: P_h(X)=-(X-1)³ et P_min(X)=(X-1)²

voici la question qui pose problème:
montrer avec ce qui précède qu'il existe un réel que l'on précisera tel que soit nilpotent d'ordre 2

Le polynôme minimal est un polynôme annulateur, donc : .
Par minimalité du degré : .
Donc est nilpotent d'ordre 2, ce qui fournit bien : .

b) soit h la restriction de g à F. Montrer que h est un endomorphisme nilpotent d'ordre 2 de F

dans le corrigé il dise que kerh=kerg inter F=kerg
pourquoi?

après pourquoi Kerh²=kerg² inter F=F?
et comment déduit-on h²=0

Si je détaille la restriction de à :



Dire que est élément du noyau de , c'est dire :
1. que appartient à l'ensemble de définition de , c'est-à-dire appartient à ;
2. que l'image de par est nulle, c'est à dire que ou encore que appartient à .

On trouve bien : .

Pour les mêmes raisons : .

Comme , la relation : est immédiate. Donc est à la fois l'ensemble de définition et le noyau de : ça veut bien dire que pour tous les élément de l'ensemble de définition de , c'est-à-dire : .

Quant à l'égalité : , elle vient de l'inclusion : , c'est-à-dire : qui est facile à établir.

[invite371ae0af]

merci pour tes explications c'est plus claire maintenant