Matrices diagonalisables

[jules345]

Bonjour,
Voila j'ai un exercice à faire ou je bloque donc on considere un endomorphisme u de L(E) tel que On me demande de montrer que u est diagonalisable. Pour cela j'ai remarqué que le polynôme est annulateur de u mais je n'arrive pas à avancer après.

Ensuite on considère un endomorphisme de L(E) tel que .On me demande de montrer que la trace de u et le déterminant sont des entiers relatifs.

Alors la j'ai remarqué que est annulateur de u donc le spectre de u est inclus dans {2,-1} et comme la somme des valeurs propres de u est égale à la trace et que {2,-1} est inclus dans Z alors tr(U) appartient à Z. Pour le déterminant j'ai raisonné de même en disant que c'était le produit des valeurs propres et que comme {2,-1} est inclus dans Z alors det(u) appartient à Z. Mon raisonnement est-il juste ?


Merci de votre aide
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[jules345]

Quelqu'un a une idée ? Merci

[wopl_a]

mais de dimension 1 donc A non diagonalisable

[jules345]

Merci de ta réponse, en effet u n'est pas diagonalisable mais en fait je dois montrer que u² est diagonalisable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[cleanmen]

salut,
tu as une bonne idée en parlant de polynôme de matrice. Quelle condition semble la plus adaptée pour montrer que u² est diagonalisable (vu l'unique hypothèse)? A partir de la, pour trouver ce qu'il te faut tu n'a qu'une hypothèse à ta disposition, donc il ne te reste qu'à bien la cuisiner.

[jules345]

Merci de ta réponse,

Je sais que X^3-X² est annulateur de u mais en fait je n'arrive pas à éliminer ces puissances impaires ce qui va me donner des puissance 1/2 pas très pratique a manipuler dans ce genre d'exercice. J'avais pensé à tout mettre au carré mais je retrouve des puissances de 3.

[wopl_a]

Indication pour la suite, qui peut aussi aider pour la première question, c'est ca mais attention, si il y a une valeur propre d'ordre > 1 dans le polynôme caractéristique de

Exemple :

Si le polynôme minimal et le polynome caractéristique de sont tous les deux :

dans une base adaptée

alors

Si le polynôme minimal de vaut et le polynome caractéristique de vaut

dans une base adaptée

alors det

(reduction de jordan)

[God's Breath]

je n'arrive pas à éliminer ces puissances impaires

Combien vaut u⁴ ?

[jules345]

Indication pour la suite, qui peut aussi aider pour la première question, c'est ca mais attention, si il y a une valeur propre d'ordre > 1 dans le polynôme caractéristique de

Exemple :

Si le polynôme minimal et le polynome caractéristique de sont tous les deux :

dans une base adaptée

alors

Si le polynôme minimal de vaut et le polynome caractéristique de vaut

dans une base adaptée

alors det

(reduction de jordan)

Merci de ta réponse (au passage je ne sais pas si tu l'a vu mais je me suis trompé il faut démontrer u² est diagonalisable dans la question 1 ) mais je ne vois pas en quoi ton exemple pose problème parce que dans les cas que tu cites det et tr sont clairement des entiers relatifs.

[wopl_a]

jules345
la somme des valeurs propres de u est égale à la trace

C'est juste ça qui m’agaçait un peu. Mais sinon tout va bien

[jules345]

Ah tu veux dire que ce que j'ai dit n'est vrai que dans le cas ou u est diagonalisable ? C'est vrai, oui il faudrait peut être montré avant que u est diagonalisable. Sinon tu n'aurais pas une piste pour la question 1 j'essaye pas mal de trucs mais à chaque fois une puissance impaire m'empêche d'avancer. Merci encore pour ton aide

[jules345]

Combien vaut u⁴ ?

Désolé et merci de ta réponse, God's Breath je n'avais pas vu ton post, alors Donc le polynôme

Mais après je reste bloqué car si je factorise encore j'aurai des puissance inférieure à 2.

[God's Breath]

Non !

On dispose d'un polynôme annulateur de degré 3 pour u : toutes les réponses doivent donc être données modulo ce polynôme annulateur en n'utilisant seulement des polynômes de degré au plus 2.

Lorsque je demande la valeur de u⁴, je ne veux pas une réponse de degré 6, mais de degré 2.

[jules345]

Re,

Je crois que j'ai enfin trouvé la solution,
Voila on a annulateur de u or entre l'étape 2 et 3 j'utilise le fait que donc est un polynôme scindé simple de u² donc u² est diagonalisable est-ce juste ?

[cleanmen]

tu confonds polynômse et polynômes d'endomorphisme.
on a bien u²=u3, mais les polynômes X² et X3 sont bien entendu coplètement différents.
Dans ce sens ta démonstration est fausse, en revanche en utilisant la même idée: tu peux dire que comme u²^3=u² alors X^3-X annule u². Je te laisse conclure.

[jules345]

Oui c'est vrai je me suis trompé , donc si je suis ton raisonnement on a alors X(X-1)(X+1) scindé simple annulateur de u² donc u² est diagonalisable c'est juste ?
En fait à la base je croyais qu'il fallait que je cherche un polynôme du style X²(X²-2) pour affirmer que u² est diagonalisable.
Merci

[cleanmen]

euh en fait je me suis trompé dans le polynôme annulateur... u^3=u² donne u^4=u^3=u² donc u²^2=u².
Ta conclusion est très bien.

En utilisant cette méthode, tu peux résoudre plein d'exos du style: si f² diago ac kerf=kerf² alors f diago: si tu as le temps tu pourrais t'y attaquer