Bonsoir,
Dans une partie du théorème de l'intervalle (disant que si f:I -> IR est continue sur un intervalle, alors f(I) est aussi un intervalle), il faut vérifier que nous obtenons bien un intervalle. Comment faites-vous pour vérifier que nous avez un intervalle ?
Jouez-vous avec supremum et infimum aux extrémités (en montrant que dès qu'on se trouve entre les bornes on est dans l'intervalle et dès qu'on le dépasse, et bien... on en sort...) ?
Ou autrement ?
Bonjour,
Un argument de connexité me paraît le plus simple : on montrer que les connexes de IR sont les intervalles, en utilisant la propriété de la borne inférieure. Comme l'image d'un connexe par une application continue est connexe, on en déduit le résultat.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Qu'est-ce que tu insinues par connexe ?
Une partie est connexe si elle ne peut pas s'écrire comme la réunion disjointe de deux ouverts. Mais si tu n'as pas de notions de topologie, mon argument tombe un peu à l'eau...
If your method does not solve the problem, change the problem.
Effectivement...
Quelqu'un aurait-il une autre idée ?
Un intervalle de IR peut aussi être défini ainsi :
Traduit en français ça donne :
I est un intervalle si et seulement si, quels que soient deux points x,y appartenant à I, on a [x,y] est inclus dans I
Dis avec des mots savants: les intervalles de IR sont les convexes de IR. Cette définition à le bon gout de regrouper tout les différents "types" d'intervalles.
très bonne question.Envoyé par nico3004
après qcq années de maths je sais que la formulation des définitions changent parfois.
si aujourd'hui un intervalle ( d'arrivé) est par définition borné, dans ce cas il n'y a aucun soucis.
ce quime semble pas clair, c'est (vu l'enoncé ) que I soit un intervalle fermé mais qur F(I) puisse être ouvert?
donc je coince sur la définition
La fonction étant continue sur un intervalle fermé bornée , elle est également bornée.
Il existe donc [a,b] de IR tq f(I) inclus [a,b].
On montre l'inclusion réciproque : a et b sont atteints par fcar f admet nécessairement un maxium et minum global sur I .
Le théorème des valeurs intermédiares affirme la surjectivité de f : il est alors clair que [a,b] inclu f(I)
Etant donné que cette démonstration respose grandement sur le Théorème des valeurs intermédiares , (et quelques résultats globaux) , c'est une conséquence , un corollaire de ce meme théorème je crois .
Pourtant , par définition , une fonction est continue ssi l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert , comme dans IR muni de la topologie usuelle , un intervalle ouvert est un ouvert ...
l'énoncé ne dit rien sur la nature de l'intervalle f(I).
Simplement ,il est clair que si I est fermé borné , alors f(I) est fermé borné car ses bornes sont atteintes par f au vu de la démonstration (on peut le démontrer en construisant une suite qui converge vers x0 de I et tq b-1/n < f(xn) < b respectivement a<f(xn) < a+1/n pour tout n , alors par continuité , il existe x0 tq f(x0)= b resp f(x0) = a, tout ceci étant du à la propriété de la borne inférieure res^p supérieure )
on a donc prouvé une propriété un peu plus forte je pense que l'énoncé ne pouvait laisser croire...
Tout à fait, en soi j'aurais pu précisé que nous avions affaire à un intervalle fermé, mais le théorème dit que quel que soit l'intervalle d'où on part, on arrive à un intervalle de la même forme, donc...
Par contre, je n'avais encore jamais vu la définition d'intervalle de Tryss.
une sorte de formule liée au brycentre je pense ... Elle est très utilisée pour la convexité par exemple (on compare le segment reliant deux points de la courbe et la tangente de la courbe).
C'est de cette manière que l'on définit un segment dans un espace vectoriel (et que l'on peut donc parler de convexité).
If your method does not solve the problem, change the problem.
